x e x+99 são quadrados perfeitos

por **Ashitaka** Sex 13 Fev 2015, 13:49

A soma de todos valores inteiros positivos de x tais que x e x + 99 são quadrados perfeitos é igual a:
a) 2621
b) 2623
c) 2625
d) 2627
e) 2629

por **Robson Jr.** Sex 13 Fev 2015, 18:24

Sejam a e b inteiros positivos. Do enunciado, vale escrever:

$\small \\ \left\{\begin{matrix} a^2=x\\ b^2=x+99 \end{matrix}\right. \Rightarrow b^2-a^2=99 \ \therefore \ (b+a)(b-a)=3^2.11$

Os fatores (b+a) e (b-a) são inteiros que, além de apresentarem produto 99, obedecem à relação de ordem b+a > b-a. Assim, limitam-se os casos que atendem ao enunciado. São eles:

$\small \\ \left\{\begin{matrix} b+a=99\\ b-a=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow a=49 \Rightarrow \boxed{x=49^2=2401} \\\\ \left\{\begin{matrix} b+a=33\\ b-a=3 \end{matrix}\right. \Rightarrow a=15 \Rightarrow \boxed{x=15^2=225} \\\\ \left\{\begin{matrix} b+a=11\\ b-a=9 \end{matrix}\right. \Rightarrow a=1 \Rightarrow \boxed{x=1^2=1}$

Portanto:

$\small \boxed{\text{Soma}=2401+225+1=2627}$

por **Ashitaka** Sex 13 Fev 2015, 19:35

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