Qual o numero de algarismo

Sei q vcs sentiram mt falta de mim mas eu to de volta   

qual o numero de algarismos do numero 3^27 . 25^15 (3 elevado a 27 vezes 25 elevado a 15)

gabarito diz que eh 32 

Matheus Aragão. escreveu:Sei q vcs sentiram mt falta de mim mas eu to de volta   

qual o numero de algarismos do numero 3^27 . 25^15 (3 elevado a 27 vezes 25 elevado a 15)

gabarito diz que eh 32 

Boa noite, Matheus.

Aplicando logaritmos, fica:
log(3^27) = 27*log(3) = 27*0,4771 = 12,8817
log(25^15) = 15*log(25) = 15*log(5²) = 15*2*log(5) = 30*0,69897 = 20,9691

log(3^27) + log(25^15) = 12,8817 + 20,9691 = 33,8508

Ora, o número de algarismos desse produto é uma unidade a mais que o valor da característica:
33 + 1 = 34

Essa é a resposta correta.



Um abraço.

Alguem teria uma outra solução que nao utilize logaritmo.....

fhernando35 escreveu:Alguem teria uma outra solução que nao utilize logaritmo.....

Boa noite, fhernando.

Só se desta forma for aceitável:

3²⁷ * 25¹⁵ 

3⁹ = 19683 ≈ 20000 ≈ 2*10⁴
3²⁷ = (2*10⁴)³ = 8*10¹²

25 = 5²
25¹⁵ = (5²)¹⁵ = 5³º = (10/2)³º = 10³º/2³º

Como 2¹º = 1024 ≈ 1000 = 10³, podemos escrever:

10³º/2³º = 10³º/(2¹º)³ ≈ 10³º/(10³)³ ≈ 10³º/10⁹ ≈ 10²¹

Finalmente:

3²⁷ * 25¹⁵ ≈ 8*10¹² * 10²¹ ≈ 8*10³³ 

Número de algarismos ≥ 33




Um abraço.

Bom dia Ivomilton,

Agradeço pela gentileza da resposta.

Entendi a sua solução. Na verdade teremos um número de algarismos maior ou igual a 34 (8 * 10³³), pois o erro obtido com as aproximações são aumentados
devido às exponenciações sucessivas.
Acredito haver uma outra solução que se obtenha o valor exato do número de algarismos pois o exercício foi apresentado para turmas de ensino fundamental, que ainda não aprenderam logaritmo, e as opções estão em múltipla escolha com os valores a) 32, b) 34, c) 35, d) 37 e e) 40.

grande abraço,

Luiz Fernando

Olá, Luiz Fernando.

Entendi. Entretanto não consegui uma solução mais adequada ao fundamental. 

Aguardemos que alguém mais apareça com uma solução que se enquadre no Ensino Fundamental.



Um abraço.

Em fim consegui uma solução, utilizando conteúdos de Ensino Fundamental, para a determinação do número de algarismos de (3^27) . (25^15).

- considere   a desigualdade: 2^4 < 3^3 < 2^5; elevando-se todos termos à 9 teremos: 2^36< 3^27<2^45;

- calculando a quantidade de algarismos para 2^36 teremos:(2^36)(25^15) = (2^36)(5^30) = (2^30)(5^30)(2^6) = 64 (10^30), que possui 32 algarismos;

- calculando a quantidade de algarismos para 2^45 teremos:(2^45)(25^15) = (2^45)(5^30) = (2^30)(5^30)(2^15) = (10^30)(2^15) =(2^10)(2^5)(10^30) = 1024 . 32 . (10^30) = 32768 . (10^30), que possui 35 algarismos;

- com efeito, o número de algarismos N, será tal que  32< N <35, que será satisfeito apenas pelo número 34, de acordo com as opções apresentadas.

abraços a todos,
Luiz Fernando.

fhernando35 escreveu:Em fim consegui uma solução, utilizando conteúdos de Ensino Fundamental, para a determinação do número de algarismos de (3^27) . (25^15).

- considere   a desigualdade: 2^4 < 3^3 < 2^5; elevando-se todos termos à 9 teremos: 2^36< 3^27<2^45;

- calculando a quantidade de algarismos para 2^36 teremos:(2^36)(25^15) = (2^36)(5^30) = (2^30)(5^30)(2^6) = 64 (10^30), que possui 32 algarismos;

- calculando a quantidade de algarismos para 2^45 teremos:(2^45)(25^15) = (2^45)(5^30) = (2^30)(5^30)(2^15) = (10^30)(2^15) =(2^10)(2^5)(10^30) = 1024 . 32 . (10^30) = 32768 . (10^30), que possui 35 algarismos;

- com efeito, o número de algarismos N, será tal que  32< N <35, que será satisfeito apenas pelo número 34, de acordo com as opções apresentadas.

abraços a todos,
Luiz Fernando.

Bom dia, Luiz.

Parabéns por ter conseguido chegar à solução, utilizando desigualdades!
Que bom você ter chegado à solução seguindo regras do Ensino Fundamental! 


Um abraço.