Dúvida a respeito de fatoração

por mipeli Dom 18 Jan 2015, 14:43

Estava fazendo uma questão do Iezzi do livro de introdução ao cálculo e me deparei com o seguinte exercício:

lim (xⁿ - 1)/(x-1) = ?
x→1

Entendo que devo impedir uma indeterminação, mas o problema está na fatoração de (xⁿ - 1)/(x-1).

gabarito:

por PedroCunha Dom 18 Jan 2015, 14:56

Olá, mipeli.

Pela Regra de L'Hôpital:

\\ \lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^n-1}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{n \cdot x}{1} = n

Quanto a sua dúvida:

\\ \frac{x^n - 1}{x-1} = \frac{(x-1) \cdot (x^{n-1} + \dots + x + 1)}{x-1}, x \neq 1: x^n + x^{n-1} + \dots + x +1

Espero ter ajudado.

Att.,
Pedro

por **Carlos Adir** Dom 18 Jan 2015, 15:01

Vejamos, se n=2, temos que:
(x²-1)/(x-1) = ?
Veja que x²-1 = x²-1² = (x-1)(x+1)
Temos então que (x²-1)/(x-1) = (x+1)

Agora se n = 3, temos que:
(x³-1)/(x-1) = ?
Podemos então dividir:
$\\ . \ \ x^3 +0 x^2 + 0 x - 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |x-1 \\ -x^3+x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \overline{x^2+x+1} \\ . \ \ \overline{\ 0+\ x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ . \ \ \ \ \ \ -x^2 + x \\ . \ \overline{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0+\ x - 1} \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -x +1 \\ . \overline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 + 0 \ }$

Enfim, para qualquer n, temos que (xⁿ - 1)/(x-1)=1+x+x²+x³+...+xⁿˉ¹

Isso também é a soma de potências, soma de uma PG.

por mipeli Dom 18 Jan 2015, 15:07

Valeeeu. Só uma dúvida. Sobre a Regra de L'Hôpital, lim f(x) é sempre igual a lim f'(x), para um limite existente?
x→a x→a

por PedroCunha Dom 18 Jan 2015, 15:13

Olá, mipeli.

Não estou muito familiarizado com a regra; olhei ela agora para responder a questão.

Imagino que seja o seguinte:
para limites que de outra maneira resultariam em uma indeterminação, \\ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lambda se e somente se \lambda \in \mathbb{R} \text{ ou } \lambda = \pm \infty

Creio que seja isso.

Att.,
Pedro

por **Medeiros** Dom 18 Jan 2015, 16:57

L'Hopital, tal como aplicado acima, funciona para indeterminações do tipo
0/0 ou infinito/infinito.
Todavia, como nos alerta B. Demidovich (Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico), deve-se recordar que pode existir o limite da fração f(x)/g(x) sem que a fração das derivadas tenda a limite algum. Exemplo:
$lim[x\to 0] \frac {x^2 sin\frac {1}{x}}{sin x}=0$

Não se pode encontrar este limite pela regra de L'Hôpital-Bernoulli, deve ser encontrado diretamente.

De qualquer forma, isto é assunto do ensino superior e não se aplica ao ensino médio.