Problema Geral 2

por Maracci Ter 30 Dez 2014, 22:13

Considerando o triângulo isósceles da figura a seguir com lados AB=AC=a, BC=b e altura AH=c. Seja O o circuncentro e I o incentro do triângulo, determine a distância entre O e I em função de a,b e c.
Problema Geral 2 Oayd00

por **Carlos Adir** Ter 30 Dez 2014, 23:08

Coloquemos no plano cartesiano:
$\\ H=(0,0); \ \ \ \ C=\left(-\dfrac{b}{2}, 0\right); \ \ \ \ B=\left(\dfrac{b}{2},0\right); \ \ \ \ A=\left(0, c \right )$
A reta AH é uma reta que, também é une os pontos OI.
A equação da reta AH é x=0.
Seja r a reta que passa de C ao ponto médio de AB(M_{AB}),
t a reta que une AC e s a reta que é faz a bissetriz do ângulo ACB, então:
$\\ t: \ \ \ y=\dfrac{c-0}{0-\left(-\dfrac{b}{2} \right )}\left(x-\left(-\dfrac{b}{2} \right )\right) \Rightarrow y=\dfrac{c}{b}\left(2x+b \right )=\dfrac{2cx}{b}+c \\ M_{AB}=\left(\dfrac{b}{4}, \ \ \dfrac{c}{2} \right ) \Rightarrow r: \ \ \ y=\dfrac{\dfrac{c}{2}-0}{\dfrac{b}{4}-\left(-\dfrac{b}{2} \right )}\left(x- \left(-\dfrac{b}{2} \right ) \right ) \\ r: \ \ \ y=\dfrac{c}{3b}\left(2x+b \right ) \Rightarrow r: \ \ \ \ y=\dfrac{2cx}{3b}+\dfrac{c}{3}$
$\measuredangle A\widehat{C}B= \theta$

$\\ tan \ \theta = \dfrac{2c}{b} \ \ \ \ \ \ \ \ \ k=tan \ \dfrac{\theta}{2} \\ tan \ \theta = \dfrac{2 \cdot tan \ \dfrac{\theta}{2}}{1- tan^2 \ \dfrac{\theta}{2}} \\ \dfrac{2c}{b}\left(1- k^2 \right )=2 \cdot k\\k^2(2c)+2kb-2c=0\\ k=\dfrac{-2b \pm \sqrt{(2b)^2-4 \cdot (2c)(-2c)}}{2 \cdot 2c} \\ k=\dfrac{-2b + \sqrt{4b^2+4 \cdot 4 c^2}}{4c}\\ k=\dfrac{-b+\sqrt{b^2+4c^2}}{2c}$
Descartamos a possibilidade negativa pois sabemos que a inclinação da reta é positiva.
A inclinação de s é então k.
$\\ y=kx + m \\ 0= \left(\dfrac{-b+\sqrt{b^2+4c^2}}{2c} \right ) \left(\dfrac{b}{2} \right ) + m \\ m=\dfrac{b^2-b\sqrt{b^2+4c^2}}{4c}$
O segmento OI é então a diferença entre:
$\\ d(O,I)=\dfrac{c}{3}-\dfrac{b^2-b\sqrt{b^2+4c^2}}{4c} \\ =\dfrac{4c^2-3b^2+b\sqrt{b^2+4c^2}}{12c}$

Problema Geral 2 GRN3N1a