Parábola

Determine o foco F e a equação da diretriz da parabola y=3x². Dado o ponto P=(1,3) sobre a curva seja Po sua projeção ortogonal sobre a diretriz. Mostre o triangulo PFPo é isosceles e que sua base FPo è perpendicular à tangente da parábola e P. Conclua que essa tangente é a bissetriz do angulo FPPo.

- temos: y = 3x² -> x² = y/3

- pela primeira forma padrão -> x² = 4py -> 4p = 3 -> p = 1/12

- a parábola tem vértice na origem e o ponto P( 1, 3 ) a satisfaz.

- a equação de diretriz é dada por y = - 1/12

- assim:

F( 0, 1/12 )

P( 1, 3 )

Po( 1, - 1/12 )


d²(F,Po ) = ( 0 - 1 )² + ( 1/12  - 3 )² = 1369/144 -> d = 37/12

d²(P,Po) = ( 1 - 1 )² + ( 3 + (1/12 )² = 1369/144 -> d = 37/12

então o triângulo PFPo é isósceles


- cálculo da tangente à parábola:

- família de retas que passam  pelo ponto P( 1, 3 ):

y - 3 = m*( x - 1 ) -> y = mx - m + 3

- substituindo y na equação y = 3x² temos:

mx - m + 3 = 3x²

3x² - mx + ( m - 3 ) = 0

....... m (+/-)\/ [ m² - 12*( m - 3 ) ]
m = ------------------------------------
........................ 2


......12 (+/-)\/0
m = -------------- -> m = 6
............ 2

- a equação da tangente será:

y - 3 = 6*( x - 1 )

y = 6x - 6 + 3

y = 6x - 3



- ponto médio do segmento FPo:

xM = 1/2

yM = 0

M( 1/2 , 0 )

como o triângulo é isósceles a tangente deve passar pelo ponto médio da base (FPo)

y = 6x - 3 -> 0 = 6*1/2 - 3 = 0

logo a tangente é também a bissetriz do triângulo PFPo


- reta por F( 0, 1/12 ) e Po( 1, - 1/12 ):

y = - (1/6) x + ( 1/12 )

coeficiente angular m1 = - 1/6

- coeficiente angular da tangente -> m2 = 6

como m1 = - 1/m2 - as retas são perpendiculares