[titulo irregular retirado] em Matemática

por Darienzo Seg 06 Out 2014, 18:17

determine Determinar os valores de m na equação do 2º grau (m-1)x² + (2m+1)x + m=0 para que as raízes sejam distintas e positivas (0 < x₁< x₂) , então ∆ > 0 e S>0 e P>0. Como fazer passo a passo, e para qual sinal devo olhar para fazer a interseção.

por **Carlos Adir** Seg 06 Out 2014, 23:11

$\\(m-1)x^2+(2m+1)x+m=0\\ x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ x=\dfrac{-(2m+1) \pm \sqrt{(2m+1)^2 - 4 \times (m-1) \times m}}{2 \times (m-1)}\\ x=\dfrac{-2m-1 \pm \sqrt{4m^2+4m+1-4m^2+4m}}{2m-2}\\ x=\dfrac{-2m-1 \pm \sqrt{8m+1}}{2m-2}\\ x_1 = \dfrac{-2m-1 - \sqrt{8m+1}}{2m-2}\\ x_2 = \dfrac{-2m - 1 + \sqrt{8m+1}}{2(m-1)}$

Não estabelecendo relações entre qual é maior ainda, então temos que:
Para as raizes serem positivas, então:
$\\ 0<x_1=\dfrac{-2m-1 - \sqrt{8m+1}}{2m-2}\\ \\ 0< x_2 = \dfrac{-2m-1+\sqrt{8m+1}}{2m-2}$

Assim, percebemos que pra existir valor nos reais, então o valor dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
Assim:
$\\8m + 1 \ge 0 \rightarrow 8m \ge -1\\m=\dfrac{-1}{8}$
Para x_1 ser positivo, então:
$\\0 <x_1 = - \dfrac{2m+1+\sqrt{8m+1}}{2(m-1)}\\ \dfrac{2m+1+\sqrt{8m+1}}{2(m-1)} < 0 \\ m \ne 1 ; \ \ \\$
Então, para ser negativo, então considerando que o valor de m seja positivo, então a parte de cima será positiva. Logo:
$m<1$

Assim:
\dfrac{-1}{8} < m < 1

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