Olimpiada Cearense de Física 2013 Locomotiva

Funcionando com potência constante uma locomotiva pode arrastar um trem em uma estrada inclinada cujo angulo de elevação é α = 5*10^-3 rad, com uma velocidade v = 50km/h. Para um ângulo de inclinação α' = 2,5*10^-3 rad, nas mesmas condições, o trem desenvolve uma velocidade v' = 60 km/h. Determine o coeficiente de atrito supondo que é igual em ambos os casos.

em ambos os casos, a velocidade é constante, sendo assim, a força que a locomotiva faz, é anula, com a atrito, e a peso :



a resposta literal seria essa, mas com esses ângulos dados do jeito que foi dado, eu não saberia responder numericamente, se os dados de seno e cosseno, não fossem dados .

É só usar regra de 3 não?
Por exemplo, o arco de 180° equivale a pi x r, o arco de 90° equivale a pi/2 e assim sucessivamente.
Portanto, um arco de abertura 5*10^{-3} equivale a (180° * 5 * 10^{-3})/(pi)=(0,9)/(pi)~=0,2866°
Mas ainda fica dificil, testei na calculadora e obtive:



Ou seja, praticamente 0 o coeficiente de atrito.

É pelo o que vi é isso mesmo, só acho meio dificil fazer essas contas todas a mao, até onde eu sei não liberam a calculadora não.. kkk

Primeiramente, temos um plano com um ângulo de inclinação. Temos um corpo (trem), com força peso (P), normal(N), força aplicada no corpo (F) e força de atrito (Fat).

Primeiro, vamos decompor o vetor P em Px e Py. Como sabemos:
• Px = sen ângulo . P
• Py = cos ângulo . P

Pensando no plano cartesiano, Px está rente a distância que o trem percorrerá. Portanto:

Px + Fat = F (Visto que possuem sentidos contrários mas mesmo valor em módulo)

Podemos anular Px com N, pois não servirá para calcularmos o coeficiente de atrito.

Dito isso, vamos para a segunda parte do exercício. Devemos nos atentar que a potência é constante em ambos os movimentos. Como sabemos, a fórmula de potência é:

P = W/t (Potência = Trabalho/Tempo)

E sabemos que trabalho é:

W = F.d.cos ângulo (Trabalho = Força. Distância. Cos ângulo)

Com isso, podemos jogar a fórmula de trabalho na de potência, onde teremos:

P = F.d.cos ângulo /t

Como estamos em um uma reta sem ângulo (pensando na hipotenusa do "triangulo formado"), temos que cos180 = 1, então:

P = F.d/t

Sabemos também que d= v.t , ou melhor dizendo, v = d/t , então:

P = F.v (Potência = Força. velocidade), assim como:

F = P/V

Para a Força de atrito(Fat), sabemos que o seu valor é:

Fat = P. ų.cos ângulo 

*Lembrar de transformar V¹= 50km e V²= 60km/h para m/s (dividir por 3,6)

Analisando as formulas, podemos aplicar os valores.

Para o ângulo 5.10‐³ rad, temos:

F¹ = Px + Fat
Pot/ V¹ = P.sen ângulo + ų.P.cos ângulo
Pot/ 50/3,6 = P.sen ângulo + ų.P.cos ângulo
3,6.Pot/ 50 =  P.sen ângulo + ų.P.cos ângulo

Para sumir com aquele cosseno, vamos dividir tudo por seno do mesmo ângulo:

3,6. Pot/50. sen ângulo = P + ų.P/ tg do ângulo 

É aqui que está o pulo do gato, para ângulos de valores muito próximos de zero(como é o caso de 5.10‐3 rad), os valores do seno, tangente e do ângulo dado são os mesmo. Isso fica provado quando traçamos uma função seno e tangente, pois as mesmas quando estão próximas do zero se encontram na mesma linha. Se trata de uma propriedade específica e difícil de cair em vestibulares comuns. Então temos que:

3,6. Pot/50.5.10‐³= P + ų.P/5.10‐³
3,6.Pot/0,25 = P + ų.P/5.10‐³

Como a potência vai sair igual (por ser constante, como diz o enunciado) para os dois ângulos, vamos isolar:

3,6. Pot = 0,25. P + 0,25ų.P/5.10‐³


Para o ângulo 2,5.10‐³ teremos então (fazendo o mesmo processo):

3,6. Pot = 0,15.P + 0,15ų.P/2,5.10‐³

Igualando as duas:

0,25.P + 0,25ų.P/5.10-³= 0,15.P + 0,15ųP/2,5.10‐³

Podemos cortar o P(Peso) da equação:

0,25 + 0,25ų.1000/5 = 0,15 + 0,15.1000/2,5
0,25 + 50ų = 0,15 + 60ų
0,10 = 10ų
ų = 0,01