Semicírculos

por johanes jr Qua 17 Set 2014, 18:46

Considere um semicírculo de centro O, diâmetro AB e raio R. Construa interiormente a esse semicírculo dois outros de diâmetro AO e OB e um circulo tangente interiormente ao primeiro e exteriormente ao segundo e terceiro semicírculos. O raio do circulo mede:

R/3

por **Medeiros** Qua 17 Set 2014, 19:19

Seja r o raio procurado.
Considere o centro O' do diâmetro OB e o centro O'' do círculo de raio r.
OO'O'' é um triângulo retângulo.
OO' = R/2
O'O'' = R/2 + r
seja OO'' = h
h² = (R/2 + r)² - (R/2)² = R²/4 + Rr + r² - R²/4
h² = Rr + r² ..........................(1)

Considere o raio R passando por O e O''.
R = h + r ----> h = R - r
h² = R² - 2Rr + r² ...............................(2)

(1)=(2):
Rr + r² = R² - 2Rr + r²
3Rr = R²
r = R/3