L'HOSPITAL

resolver o limite segundo L'hospital


lim x --> pi/2 (sen x) ^tg (x)

Você tem gabarito? o meu deu e^2

Eu não sei usar o latex , então tenta passar pro papel e vê a solução.
Esse limite é quando duas funções depende de X, Você usa esse limite aqui: e^[ lng(x) ]^h(x),onde g(x) e h(x) são funções.
Logo:

lim x---> ∏/2 (senx)^tgx = lim x --> ∏/2  e^ln(senx)^(tgx) = e^ lim x --> ∏/2 [ln(senx)]^tgx


*Resolvendo o limite:
lim x --> ∏/2 ln(senx)^tgx = lim x --> ∏/2 tgx*ln(senx), agora aplicamos a derivada do produto:
[tgx]'*ln(senx) + tgx*[ln(senx)]' = sec²x*ln(senx) + tgx*[1/senx * cosx] = 1/cos²x *ln(senx) + senx*1*cosx/cosx*senx = ln(senx)^(1/cos²x) + 1

*Resolvendo o limite verde:
lim x--> ∏/2 ln(senx)^(1/cos²x)
Fazendo senx = 1+ cos²x ,quando x tende a ∏/2  cos²x tende a 0
Logo:
lim cos²x--> 0 ln(1+ cos²x)^(1/cos²x) = lne = 1


Voltando e susbstituindo,fica:
Lim x--> ∏/2 ln(senx)^(tgx) = ln(senx)^(1/cos²x) + 1 = 1 + 1 = 2

Agora voltamos pro ínicio:

e^lim x--> ∏/2 ln(senx)^tgx = e^2

Não sei se tá certo,Vamos esperar alguém