Escreva em outra forma...

por **jango feet** Seg 01 Set 2014, 21:51

Escreva (cos1º+cos2º+...+cos44º)/(sen1º+sen2º+...+sen44º) na forma a+b√c com a,b e c inteiros.

Grato desde já, sem resposta XP.

por **fantecele** Seg 26 Jun 2017, 11:26

A = cos1º+cos2º+...+cos44º
B = sen1º+sen2º+...+sen44º

Queremos descobrir A/B

Fazendo:
A + Bi = cos1° + cos2° + ... + cos44° + isen1º+ isen2º +...+ isen44º
A parte real dessa soma é o valor de "A" e a parte imaginária é o valor de "B".
A + Bi = (cos1° + isen1°) + (cos2° + sen2°) + ... + (cos44° + sen44°)
A + Bi = cis(1°) + cis(2°) + ... + cis(44°)

Fazendo 1° = θ

$\\A + Bi=cis(\theta)+cis^2(\theta)+...+cis^{44}(\theta)\\A+Bi=cis^2(\frac{\theta}{2})+cis^4(\frac{\theta}{2})+...+cis^{88}(\frac{\theta}{2})\\\\A+Bi=cis^2(\frac{\theta}{2}).\left ( \frac{(cis^2(\frac{\theta}{2}))^{44}-1}{cis^2(\frac{\theta}{2})-1} \right )\\\\A+Bi=cis^2(\frac{\theta}{2}).\left ( \frac{(cis(\frac{\theta}{2}))^{44}-(cis(\frac{\theta}{2}))^{-44}}{cis(\frac{\theta}{2})-cis(\frac{\theta}{2})^{-1}} \right ).\left ( \frac{cis(\frac{\theta}{2})^{44}}{cis(\frac{\theta}{2})} \right )\\A+Bi=cis^{45}(\frac{\theta}{2}).\left ( \frac{sen(22\theta)}{sen(\frac{\theta}{2})} \right )$

Com isso tiramos que:

$\\A=cos(\frac{45\theta}{2}).\left ( \frac{sen(22\theta)}{sen(\frac{\theta}{2})} \right )\\B=sen(\frac{45\theta}{2}).\left ( \frac{sen(22\theta)}{sen(\frac{\theta}{2})} \right )$

Dessa forma, o valor de (cos1º+cos2º+...+cos44º)/(sen1º+sen2º+...+sen44º) = A/B será igual a:

$\\\frac{A}{B}=cotg\left ( \frac{45\theta}{2} \right )\\\frac{A}{B}=cotg\left ( \frac{45}{2} \right )=\sqrt{2}+1$

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