inequação e função quadrática

por joao nilo Sex 08 Ago 2014, 19:29

1: Determine os valores de m na equação x² + (m-2)x -m = 0 de modo que o número 2 esteja compreendido entre as raizes.
Gabarito: m<0

Por favor façam de forma detalhada para que eu possa perceber onde estou errando ou esquecendo alguma propriedade.
Obrigado desde já.

por PedroCunha Sex 08 Ago 2014, 21:08

Olá, joão.

Para um valor \alpha estar compreendido entre as raízes de uma função qualquer do segundo grau f(x) = ax^2+bx+c , a seguinte condição deve ser satisfeita:

a \cdot f(\alpha) < 0 .

Logo, no caso do exercício:

1 \cdot (2^2 + (m-2) \cdot 2 - m) < 0 \therefore (4 +2m-4-m ) < 0 \Leftrightarrow \boxed{\boxed{ m < 0 }}

Att.,
Pedro

por joao nilo Sáb 09 Ago 2014, 00:10

Muito obrigado Pedro cunha. Só mais uma dúvida, de onde vem essa propriedade? Ela tem algum nome, queria procurar por uma demonstração dela

por PedroCunha Sáb 09 Ago 2014, 01:57

João:

Para que 2 pertença ao intervalo aberto entre as raízes, é necessário que o valor da função no ponto 2, f(2) , tenha sinal contrário da concavidade da parábola.

Assim, 1 \cdot f(2) < 0 .

Att.,
Pedro

por joao nilo Sáb 09 Ago 2014, 09:13

Perfeita explicação, eu entendi, obrigado Pedro. Uma vez me falaram que o 2 seria o Xv, mas não necessariamente, outros valores também estariam entre as raízes. Até mais.

por **Elcioschin** Sáb 09 Ago 2014, 09:18

Sim, todos os infinitos pontos do eixo x entre as raízes atendem esta condição.

por **Ashitaka** Sáb 09 Ago 2014, 21:07

PedroCunha escreveu:João:

Para que 2 pertença ao intervalo aberto entre as raízes, é necessário que o valor da função no ponto 2, f(2) , tenha sinal contrário da concavidade da parábola.

Assim, 1 \cdot f(2) < 0 .

Att.,
Pedro

Olá, desculpem se for algo óbvio, mas embora eu consiga enxergar que é necessário que o valor da função no ponto x que queremos que esteja entre as raízes tenha sinal oposto ao de a, não entendi o motivo do a estar multiplicando o f(x)...