EEAR 2004 - paralelogramo

As diagonais de um paralelogramo medem 10m e 20m e formam entre si um ângulo de 60•. A área desse paralelogramo, em m^2, é

a)200
b)50 raiz de 3
c)100
d)25 rsiz de 3

Se entre as diagonais um ângulo é 60º, o outro é 120º. As diagonais se cruzam ao meio e formam no paralelogramo 4 triângulos congruentes dois a dois -- dois com ângulo de 60º no vértice e dois com ângulo de 120º. A área do paralelogramo será a soma das áreas desses quatro triângulos.

S' = (1/2).5.10.sen60º = 50√3/4 -----> S' = 25√3/2
S'' = (1/2).5.10.sen120º ---------------> S'' = 25√3/2

S = 2.S' + 2.S'' --------> S = 50√3 m² ...................... alt. B


ADENDO (edit):
Também se pode raciocinar assim. Uma diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos de mesma área; considere essa diagonal como a base do triângulo.A outra diagonal corta a primeira no seu ponto médio, portanto cada triângulo anterior dica dividido em outros dois de áreas iguais porque têm mesma altura e bases de mesma medida. Logo, os quatro triângulos em que o paralelogramo fica dividido têm mesma área.

S_{paralelogramo} = 4*S_triângulo
S_{paralelogramo} = 4*(1/2)*5*10*sen60º = 4*25√3/2 = 50√3 m²

Outro modo:
A área de qualquer quadrilátero convexo em função das diagonais é dada por:
D=1/2 .d.D . sen a ---> onde a é o âng. formando pelas diagonais.

D=1/2 . 10.20 . sen 60=1/2. 10 . 20 . V3/2=50V3cm²

Veja a demonstração da fórmula: Geometria Morgado II pag. 192