Adição e subtração de arcos

por Ricardo MB 13/7/2014, 11:27 am

Demonstre a identidade:

(1 + sen x )/ (1 - sen x) = Tg² (pi/4 + x/2)

Bem, sei que nessas situações eu devo escolher um lado e desenvolver até encontrar o mesmo que do outro lado. So que ja tentei dos dois e consegui desenvolver so ate um ponto e ai me perco. Se alguem puder me ajudar agradeço.

por Matheus Fillipe 13/7/2014, 12:04 pm

Use o conjunto de formulas:

$cos(x/2)=\pm \sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}}\;\;\;\;\;\;sen(x/2)=\pm \sqrt{\frac{cos(x)-1}{2}}$

por Ricardo MB 13/7/2014, 12:11 pm

Matheus, se não se importar pode explicar um pouco melhor? Estudando a teoria não vi essas fórmulas, to meio perdido.

por Matheus Fillipe 13/7/2014, 2:12 pm

Ok, demonstrarei essas fórmulas e a teoria. Com certeza deve saber que:
$cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)=cos^2(x)-(1-cos^2(x))=2cos^2(x)-1$

portanto se queremos encontrar o cosseno de x/2, basta acharmos o cosseno de x na fórmula acima, pois na verdade o que queremos é o cosseno da metade.

$cos(2x)=2cos^2(x)-1 ==>cos(x)=2cos^2(x/2)-1 ==>cos(x/2)=\pm \sqrt{\frac{cos(x)+1}{2}}$

Para o seno voltemos na reação:

$cos(x)=2cos^2(x/2)-1=2(1-sen^2(x/2))-1=1-2sen^2(x/2) ==>sen(x/2)= \pm \sqrt{\frac{1-cos(x)}{2}}$

Agora temos uma equação para a tangente da metade:

$tg(x/2)=\frac{sen(x/2)}{cos(x/2)}=\pm \sqrt{\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}}$

Então o quadrado da tangente:

$tg^2(x/2)=\frac{1-cos(x)}{1+cos(x)}$

Agora basta fazer o deslocamento. Note que x/2 + pi/4=(x+pi/2)/2. Como esta é uma formula onde você coloca a metade de um ângulo e ela te dá em função do ângulo, no lugar de x colocaremos x+pi/2:
$tg^2(x/2+\pi/4)=\frac{1-cos(x+\pi/2)}{1+cos(x+\pi/2)}$

Você deve saber que:

$cos(x+\pi/2)=cos(x)cos(\pi/2)-sen(x)sen(\pi/2)=-sen(x)$

Finalmente:

$tg^2(x/2+\pi/4)=\frac{1+sen(x)}{1-sen(x)}$