Problema das linhas

brasil2014 escreveu:1+2=3 ,soma da linha 1 = 3

4+5+6=7+8, soma da linha 2 = 15

9+10+11+12=13+14+15, soma da linha 3 = 42

16+17+18+19+20=21+22+23+24, soma da linha 4 =90

a)Qual é a soma da linha de número 175 ?

Resposta : 5405400


b) Qual é a fórmula para calcular a soma das n primeiras linhas ?
Obrigado.

Boa noite,

Observe a seguinte série:
3, 12, 27, 48, 75,... ----- (I)

Seus termos são todos múltiplos de 3:
3(1), 3(4), 3(9), 3(16), 3(25), ...

S = 3(1+4+9+16+25+...)

A soma dos termos entre parênteses é igual a:
S = 3*S(n²) = 3*n(n+1)(2n+1)/6

S(n) = n(n+1)(2n+1)/2 = soma dos termos de cada linha.

a)Qual é a soma da linha de número 175 ?

S(175) = 175 * 176 * 351 / 2 = 175 * 88 * 351 = 5405400


b) Qual é a fórmula para calcular a soma das n primeiras linhas ?

1 + 2 ........................ = 3
4+5+6 .............. ....... = 15
9+10+11+12 ............ = 42
16+17+18+19+20 ..... = 90
25+26+27+28+29+30 = 165

(1+1).(1²) + 1 = 2.1 + 1 = 3
(2+1).(2²) + 3 = 3.4 + 3 = 15
(3+1).(3²) + 6 = 4.9 + 6 = 42
(4+1).(4²) + 10 = 5.16 + 10 = 90
(5+1).(5²) + 15 = 6.25 + 15 = 165

2._1 +_1= ___1  + _1 + _1 = 3
3._4 +_3= ___8  + _4 + _3 = 15
4._9 +_6= __27  + _9 + _6 = 42
5.16 +10= __64  + 16 + 10 = 90
6.25 +15= _125  + 25 + 15 = 165
............... cubos+quad+triang
------------------------------------------------------
Soma = s.cubos + s.quadrados + s.triangulares

Soma dos n primeiros cubos .......................= n²(n+1)²/4
Soma dos n primeiros quadrados ................= n(n+1)(2n+1)/6
Soma dos n primeiros números triangulares = n(n+1)(n+2)/6

Colocando todas as 3 fórmulas sobre denominador 12, mmc(4,6), fica:

3n²(n+1)² + 2n(n+1)(3n+3) ... 3n²(n+1)² + 6n(n+1)² ..
--------------------------------- = --------------------------
................ 12 ........................................ 12 .

Simplificando por 3 ambos os termos do segundo membro, vem:.........................

............................................. n(n+1)²(n+2)...........
Soma das n primeiras linhas = -----------------
...................................................... 4


Um abraço.