Combinatória, conjuntos e pg

por allucardxxd Sex Jun 06 2014, 04:05

Calcule o número de subconjuntos de três elementos escolhidos de {2^(1),2^(2),2^(3)...,2^(2013)} tais que eles formem uma P.G

Gabarito:
1.012.036

por Paulo Testoni Qua Jun 11 2014, 21:16

Hola.

sejam 2^a ; 2^b ; 2^c esses elementos. Para formarem uma PG temos
2^b/2^a = 2^c/2^b (razão da PG) ==>
2^(b-a) = 2^(c-b) ==>
b-a = c-b ou seja, {a ; b ; c} formam uma PA (b-a é a razão da PA)
A questão se resume a escolher 3 elementos de { 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 2013} tais que formem uma PA, a razão dessa PA e os respectivos termos podem ser :
1 : {1 ; 2 ; 3} ou {2 ; 3 ; 4} ... até {2011 ; 2012 ; 2013} = 2011 possibilidades
2 : {1 ; 3 ; 5} ou {2 ; 4 ; 6} ... ate { 2009 ; 2011 ; 2013} = 2009 poss.
3 : {1 ; 4 ; 7} ou {2 ; 5 ; 8} ... até {2007 ; 2010 ; 2013} = 2007 poss.
.....
1010 : {1 ; 1011 ; 2011} até {3 ; 1013 ; 2013} = 3 possib.
1011 : {1 ; 1012 ; 2013} = 1 possib.
.
o total de PG possíveis é portanto a soma 1+3+5+...+2011 (soma de uma outra PA de razão 2)
an = a1 + r(n-1) (termo geral da PA)
2011= 1 + 2(n-1) ==> n = 1006 termos
S = (a1 + an)*n / 2 (soma dos termos da PA)
S = (1 + 2011)*1006 / 2
S = 1.012.036 (resp)
Uma colaboração do Tiririca.

por **Ashitaka** Sex Abr 03 2015, 16:30

Um outro modo de pensar, a partir da solução do Paulo, é que como 2b = a+c, devemos contar quantas são as possibilidades de médias artiméticas dentro do conjunto.
2b = a + c
1) a e c são ímpares:
C(1007,2)
2) a e c são pares:
C(1006,2)

C(1007,2) + C(1006,2) = 1.012.036