Função Modular

Construa o gráfico da seguinte função real.

f (x) = ( |x^2 - 2x| - |x^2 - 4| ) / 2

Estou com dificuldades em trabalhar com módulo de função do segundo grau e também não sei fazer gráfico de equação fracionária.

Se não me engano, para x>=0 , temos x^2 - 2x e -x^2 + 4
e para x < 0 temos - x^2 + 2x + x^2 - 4. 
Porém, não estou sabendo juntar as informações e nem trabalhar com a fração. Socorro!

Gabarito :

Olá.

Vamos encontrar os zeros de cada módulo:

x²-2x = 0 .:. x = 0 ou x = 2 (i)
x²-2x > 0 para x < 0 ou x > 2 (ii)
x²-2x < 0 para 0 < x < 2 (iii)

x²-4 = 0 .:. x = 2 ou x = -2 (iv)
x²-4 > 0 para x < -2 ou x > 2 (v)
x²-4 < 0 para -2 < x < 2 (vi)

Como x = 2 zera os dois módulos, para x = 2, f(x) = 0. Analisemos agora para x =0 e x = -2:

f(0) = [ |0| - |-4| ] / [2] .:. f(0) = -4/2 .:. f(0) = -2
f(-2) = [|8| - |0| ] / [2] .:. f(-2) = 8/2 .:. f(-2) = 4

*Note também que para x = -1, f(-1) = 0.

Para -2 < x < 0:

Teremos o intervalo ii para o primeiro módulo e o intervalo vi para o segundo:

f(x<0): (x²-2x - [-(x²-4)])/2 .:. f(x<0): (x²-2x+x²-4)/2 .:.
f(x<0): x²-x-2

Para x > 2:

Teremos o intervalo ii para o primeiro módulo e o intervalo v para o segundo:

f(x>2): (x²-2x - x²+4)/2 .:. f(x>2): -x+2

Para 0 < x < 2:

Teremos o intervalo iii para o primeiro módulo e o intervalo vi para o segundo módulo:

(-x²+2x+x²-4)/2 .:. x-2

Para x < -2:

Teremos o intervalo ii para o primeiro módulo e o intervalo v para o segundo módulo:

f(x<-2):  (x²-2x - x² + 4)/2 .:. f(x<-2): -x + 2

Os outros intervalos já estão incluídos nesses.

Basta agora plotar:



Espero ter ajudado, .

Att.,
Pedro

I. fazemos o estudo da função :f(x)= x^2-2x para valores maiores ou menos que suas raízes ou f(x) = -(x^2-2x) para valores entre suas raízes.

II. faça o mesmo estudo com a segunda parte da função : x^2 - 4.


III. faça um quadro colocando cada raiz dessas partes, considerando cada intervalo, depois faça a subtração.


IV. Você vai chegar em novas equações ( 3 por sinal) cada um com um certo intervalo, que notamos no gráfico.


V. Por último faça  no mesmo plano os gráficos das 3 possibilidades .


Espero ter ajudo, se ficou confuso alguma parte é só dizer .   


OBS: O denominador 2 não altera o estudo dos módulos, como ele é positivo, a função vai ter o sinal do numerador .