Dízima periódica

por Zéh Sáb 24 maio 2014, 10:05

(CPACN - 2013) Sabe-se que a média aritmética da soma dos algarismos de todos os números naturais de 10 até 99, inclusive, é k. Sendo assim, pode-se afirmar que o número $\frac{1}{k}$ é

a) natural
b) decimal exato
c) dízima periódica simples
d) dízima periódica composta
e) decimal finito sem período

Eu a resolvi assim:

$\\k = \frac{\frac{(10+99)90}{2}}{2}\\\\k = \frac{4095}{2}$

Sabendo que $k = \frac{4095}{2}$

$\\\frac{1}{k}=\frac{1}{\frac{4095}{2}}\\\\\frac{2}{4095} = 0,0004884004884004884...$

Chegando a resposta concluí que ela seria uma dízima periódica com 6 números no período mas composta com 1 número no ante período, o 0. Seria letra d). Mas o gabarito, como já foi informado é letra c). Não estou conseguindo entender o motivo por isso vim aqui.

por **Elcioschin** Sáb 24 maio 2014, 10:19

Você cometeu um erro no cálculo da média aritmética dos 90 termos

k = [(10 + 99).90/2]/90 ----> Você considerou apenas 2 termos

k = 109/2 ----> 1/k = 2/109

Além disso você errou em conta ---> (10 + 99).90/2 = 109.45 = 4 905 (e não 4095)

por Zéh Sáb 24 maio 2014, 14:10

Desculpe Mestre, fiz a primeira conta errada e a partir daí, por cadeia, errei tudo. Vi, revi e nem tinha notado meu erro na média aritmética.

Eu refiz a conta segundo seus passos:

$\frac{1}{k} = \frac{2}{109} = 0,0183486...$

$\frac{1}{k}$ não deu em uma dízima periódica, decimal exato nem finito, muito menos em um número natural. Creio que essa questão tenha sido anulada.

por **Elcioschin** Sáb 24 maio 2014, 14:51

Porque você acha que não deu uma dízima periódica?

E se o período tiver, por exemplo, 20 algarismos. Nesta caso você apenas não chegou ao final do 1º período.

por Zéh Sáb 24 maio 2014, 17:30

Na primeira vez eu havia feito a conta na mão e por duas faltas de atenção seguidas acabei errando tudo. Mas o 2/109 fiz na calculadora e o resultado foi 0,01834862385321100917431192660550... Por isso o citei como não sendo uma dízima, mas sabendo que posso estar errado, obviamente.

Mestre, o senhor me deixou curioso. Existe algum método para descobrir se um decimal é finito exato ou infinito? Se uma dízima é periódica ou não?

por **Elcioschin** Dom 25 maio 2014, 09:27

Todo inteiro é finito -----> 2 é finito
Todo decimal exato é finito ----> 0,2 = 2/10 é finito
Todo número racional em que o denominador não divide o numerado, é uma dízima periódica ---> 2/3
Existem dízimas periódicas simples e compostas. Estude em qualquer .livro/apostila a teoria a respeito e entenda a diferença entre uma e outra

por **ivomilton** Dom 25 maio 2014, 09:46

Zéh escreveu:Na primeira vez eu havia feito a conta na mão e por duas faltas de atenção seguidas acabei errando tudo. Mas o 2/109 fiz na calculadora e o resultado foi 0,01834862385321100917431192660550... Por isso o citei como não sendo uma dízima, mas sabendo que posso estar errado, obviamente.

Mestre, o senhor me deixou curioso. Existe algum método para descobrir se um decimal é finito exato ou infinito? Se uma dízima é periódica ou não?

Bom dia,

Uma decimal é finita se. e somente se. o denominador da fração for composto apenas de fatores primos 2 e/ou 5.
Se o denominador contiver algum outro fator primo além destes, resultará em uma dízima periódica composta.
Caso todos os fatores primos que componham o denominador sejam diferentes destes, resultará em uma dízima periódica simples.

Um abraço.