geometria espacial poliedro

um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares .Sabendo que a razão entre os números de faces triangulares e quadrangulares é 2/3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro.




 

Boa tarde, 

Se o poliedro possui apenas faces triangulares e quadrangulares, e a razão entre o número de faces triangulares e quadrangulares é 2/3, temos que o número de faces triangulares e quadrangulares são proporcionais a 2 e 3, respectivamente.

Vamos chamar uma constante de proporcionalidade qualquer de k. Com isso, teremos que:

Número de faces triangulares: 2k
Número de faces quadrangulares: 3k

Sabemos que cada face triangular possui 3 arestas, e que cada face quadrangular possui 4 arestas. Logo, temos que o número de arestas é igual a:

2A = 3.2k + 4.3k
A = 18k/2
A= 9k

E, como o problema nos diz, o número de arestas é o dobro do número de vértices. Com isso temos que o número de vértices é 9k/2.

Aplicando agora a Relação de Euler, temos que:

V + F = A + 2
9k/2 + 5k = 9k + 2
9k + 10k = 18k + 4
19k - 18k = 8
k = 4

Como já sabemos o k, basta substituir. O número total de faces será 2.4 + 3.4 = 8 + 12 = 20.

muito obrigada   :flower: