Raízes racionais

Encontre os valores das raízes racionais a, b e c de x³+ax²+bx+c

Gabarito: a=b=c=0; a=1, b=-2, c=0; a=1, b=c=-1

Olá ,medock.

Das Relações de Girard:

a+b+c = -a .:. b+c = -2a
abc = -c .:. abc + c = 0 .:. c*(ab+1) = 0 .:. c = 0 ou ab = -1

se c = 0:

b = -2a --> ab + ac  +bc = b .:. ab + 0  + 0 = b .:. -2a² = -2a .:. a² = a .:. a² - a = 0 .:.
a*(a-1) = 0 --> a diferente de 0: a = 1, b = -2

se ab = -1:

Temos infinitas possibilidades que servem ab = -1.  Mas a única que satisfaz todas as equações e é racional é a = 1, b = -1 e com isso c = -1. Veja:

a+b+c = -a .:. 2a+b+c = 0 .:. 2 -1-1 = 0 .:. 0 = 0 ;
ab + bc + ac = b .:. -1 + 1 -1 + 1 = 0 .:. 0 = 0
abc = -c .:. abc +c = 0 .:. 1 - 1 = 0 .:. 0 = 0

Há ainda a tripla óbvia, que é (0,0,0).

Att.,
Pedro

só uma dúvida, na solução a= 1 b=c=-1 você deduziu ser a certa? n existe uma solução mais formal para achar esses valores ou essa eh a solução formal? Obrigado pelo ajuda.

Não existe uma única solução certa: existem 3 soluções certas.

sim eu sei, mas tipo 2 soluções ele achou atráves de cálculos e a última(a=0; b=c=-1) ele fez por dedução, ou melhor dizendo tentativa, n existiria um jeito de achar essa solução de um jeito mais formal através de calculos? sem ser atraves de dedução?

Não teve nenhuma solução (0,-1,-1). Teve a solução (1,-1,-1), que é a única solução real e racional que satisfaz o sistema formado pelas relações de Girard.

desculpe escrevi errado, exatamente isso a=1; b=c=-1, eu tentei desenvolver a relação de girard para poder achar essa solução mas n consigo, como vc fez?

Está na minha resposta:

Das Relações de Girard:

a+b+c = -a .:. b+c = -2a
abc = -c .:. abc + c = 0 .:. c*(ab+1) = 0 .:. c = 0 ou ab = -1

se c = 0:

b = -2a --> ab + ac  +bc = b .:. ab + 0  + 0 = b .:. -2a² = -2a .:. a² = a .:. a² - a = 0 .:.
a*(a-1) = 0 --> a diferente de 0: a = 1, b = -2

se ab = -1:

Temos infinitas possibilidades que servem ab = -1.  Mas a única que satisfaz todas as equações e é racional é a = 1, b = -1 e com isso c = -1. Veja:

a+b+c = -a .:. 2a+b+c = 0 .:. 2 -1-1 = 0 .:. 0 = 0 ;
ab + bc + ac = b .:. -1 + 1 -1 + 1 = 0 .:. 0 = 0
abc = -c .:. abc +c = 0 .:. 1 - 1 = 0 .:. 0 = 0

Há ainda a tripla óbvia, que é (0,0,0).

Me desculpe mas agora entendi obrigado pela paciencia valeu!

Me desculpe mas agora entendi obrigado pela paciencia valeu!