Dilatação

por Blackmount Seg 03 Mar 2014, 15:07

Uma barra com uma rachadura no centro entorta para cima com um pequeno aumento de temperatura θ grau C sendo L0 o comprimento inicial da barra e alpha o seu coeficiente de dilatação linear, determine x

Dilatação Sem_t_tulo

Gabarito: L0 / 2 (2alphaθ)^1/2

por **VictorCoe** Seg 03 Mar 2014, 16:38

O novo comprimento da barra será L=Lo(1+αθ), logo, cada metade da barra subirá, com isso, poderemos fazer pitágoras (com hipotenusa L/2 e catetos x e Lo/2) :

L²/4=x²+Lo²/4 ---> x²=(L²-Lo²)/4 ---> x²= [Lo²(1+αθ)²-Lo²]/4

x²=[Lo²(1+2αθ+α²θ²)-Lo²]/4

x²=Lo²(2αθ+α²θ²)/4=Lo²αθ(2+αθ)/4

Agora chegaremos ao fator αθ(2+αθ), se percebermos, αθ é muito menor que 2, podemos desprezá-lo.

x²=Lo²αθ.2/4

Portanto, x=Lo[(2αθ)^1/2]/2

por Blackmount Seg 03 Mar 2014, 17:46

Obrigado

por **Elcioschin** Seg 03 Mar 2014, 17:58

Blakmount

Existe uma pequena falha no seu enunciado:

.... com um pequeno aumento de temperatura θ grau C ....

Pela legislação internacional (e também pela legislação brasileira) não é permitido misturar nomes de unidades com símbolos de unidades.

Unidade de temperatura:

Nome: grau Celsius
Símbolo: ºC

Seu enunciado deveria ser. então:

... com um pequeno aumento de temperatura θ graus Celsius ....

ou

... com um pequeno aumento de temperatura θ ºC

por juuju1996 Ter 10 Fev 2015, 21:09

Olá! Como sei que αθ é muito menor que 2?

por **Thálisson C** Ter 10 Fev 2015, 21:55

vou resolver de novo, pra ver se você entende melhor:

dilatação sofrida: $\Delta L = L_{o}\alpha \Delta \theta$

o comprimento de cada pedaço será: $\frac{L_{o}+ \Delta L}{2} = \frac{L_{o} + L_{o}\alpha \Delta \theta }{2} = \frac{L_{o}}{2}(1+\alpha \Delta \theta )$

agora aplicando o teorema de pitágoras, com a hiponenusa sendo a metade da barra quebrada, cujo o comprimento foi calculado acima, x e Lo/2:

$\\\left (\frac{L_{o}}{2}(1+\alpha \Delta \theta ) \right )^{2} = \left (\frac{L_{o}}{2} \right )^{2} + x^{2}\\\\\\ x^{2} = \frac{L_{o}^{2}}{4}(1+\alpha \Delta \theta )^{2} - \frac{L_{o}^{2}}{4}\\\\ x^{2} = \frac{L_{o}^{2}}{4}\left \left [( 1+\alpha \Delta \theta \right )^{2} -1 \right ]\\\\ (1+x)^{n} = 1+nx \;\;, se \;\; x < < 1\\\\ x^{2} = \frac{L_{o}^{2}}{4}(1 + 2\alpha \Delta \theta -1)\;\; \rightarrow \;\; x = \frac{L_{o}}{2}(2\alpha \Delta \theta )^{\frac{1}{2}}$