Derivadas parciais
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Derivadas parciais
por Jader Qui 27 Fev 2014, 01:08
Demonstrar que a função =\left\{\begin{matrix}&space;\frac{2xy}{x^{2}+y^{2}},se&space;&x^{2}+y^{2}\neq&space;0.\\&space;0,se&space;&x=y=0&space;.&space;\end{matrix}\right. "f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{2xy}{x^{2}+y^{2}},se &x^{2}+y^{2}\neq 0.\\ 0,se &x=y=0 . \end{matrix}\right.")
tem derivadas parciais "f'_{x}(x,y)")
e  "f'_{y}(x,y)")
no ponto (0,0), apesar de ser descontínua nesse ponto. Representar geometricamente esta função nas proximidades do ponto (0,0).
Desde já agradeço pela ajuda.
tem derivadas parciais
Desde já agradeço pela ajuda.
Jader- Matador
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Localização : Fortaleza - CE
Re: Derivadas parciais
por Matheus Fillipe Qui 27 Fev 2014, 15:55
Boa!
^2} "\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2y}{x^2+y^2}-\frac{4x^2 y}{(x^2+y^2)^2}")
^2} "\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2x}{x^2+y^2}-\frac{4y^2 x}{(x^2+y^2)^2}")
Em x=0 e y=0 as derivadas não são óbvias. O termo x^2+y^2 é sempre positivo, o termo 2xy muda de sinal para x atravessando o 0 e para y fazendo o mesmo.
Olhando em R3, onde z representa f. O denominador representa uma parábola, e o numerador uma parábola na 2 bissetriz (quando x tem o mesmo sinal de y) e duas parábolas para x com sinal oposto de y, na primeira bissetriz(ambos no plano xy). Essas vão para o lado negativo de z e possuem uma descontinuidade em 00. Estamos imaginando a função em R3 como uma folha nesse formato. Se Dividimos isso pela parábola da mesma forma que a da segunda bissetriz(numerador, denominador) temos que a segunda bissetriz e a primeira são constantes com z=1, para x=y, e z=-1 x=-y. Assim a descontinuidade está explícita para o ponto 00, onde as duas são satisfeitas.
Esclarecido?
Assim de consideramos o ponto 0,0 com o valor 0, tomaremos os limites x-->0 e y-->0 nas derivadas parciais:
^2}=\frac{2x^3+2xy^2-4y^2x}{(x^2+y^2)^2}=2x\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=2x\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)(x+y))}=2x\frac{(x-y)}{x+y} "\frac{2x}{x^2+y^2}-\frac{4y^2 x}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2x^3+2xy^2-4y^2x}{(x^2+y^2)^2}=2x\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}=2x\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)(x+y))}=2x\frac{(x-y)}{x+y}")
Faça x-->0 e já obtém 0, se fazer y-->0 obtém 2x^2/x=2x, e fazendo agora x-->0 obtém zero, portanto, fazendo o limite, a derivada parcial existe e o mesmo é provado para x.
Em x=0 e y=0 as derivadas não são óbvias. O termo x^2+y^2 é sempre positivo, o termo 2xy muda de sinal para x atravessando o 0 e para y fazendo o mesmo.
Olhando em R3, onde z representa f. O denominador representa uma parábola, e o numerador uma parábola na 2 bissetriz (quando x tem o mesmo sinal de y) e duas parábolas para x com sinal oposto de y, na primeira bissetriz(ambos no plano xy). Essas vão para o lado negativo de z e possuem uma descontinuidade em 00. Estamos imaginando a função em R3 como uma folha nesse formato. Se Dividimos isso pela parábola da mesma forma que a da segunda bissetriz(numerador, denominador) temos que a segunda bissetriz e a primeira são constantes com z=1, para x=y, e z=-1 x=-y. Assim a descontinuidade está explícita para o ponto 00, onde as duas são satisfeitas.
Esclarecido?
Assim de consideramos o ponto 0,0 com o valor 0, tomaremos os limites x-->0 e y-->0 nas derivadas parciais:
Faça x-->0 e já obtém 0, se fazer y-->0 obtém 2x^2/x=2x, e fazendo agora x-->0 obtém zero, portanto, fazendo o limite, a derivada parcial existe e o mesmo é provado para x.
Matheus Fillipe- Mestre Jedi
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