Polinomios ufpo

um polinomio  P(x) do quarto grau é divisivel por x^3-4x. o resto da divisão deste polinomio por (x+1) é -45 e por (x-3) é -165. Determino o polinomio P(x).

R: x^4-14x^3-4x^2-56x

Olá.

Seja esse polinômio p(x) tal que p(x) = ax^4 + bx³ + cx² + dx + e

Do enunciado, temos que ele é divisível por x³ - 4x. Fatorando este polinômio:

x³ - 4x .:. x * (x² - 4) .:. x * (x+2) * (x-2)

Logo, p(x) é divisível por 0,2 e -2. Isso já nos mostra que e = 0. Agora, juntando isso com as informações do enunciado, temos:

p(2) = 0 .:. 16a + 8b + 4c + 2d = 0 (i)
p(-2) = 0 .:. 16a - 8b + 4c - 2d = 0 (ii)
p(-1) =  -45 .:. a - b + c - d = -45 (iii)
p(3) = -165 .:. 81a + 27b + 9c + 3d = -165 (iv)

i+ii:

32a + 8c = 0 .:. 4a + c = 0 .:. c = - 4a

ii-i:

-16b - 4d = 0 .:. 4b + d = 0 .:. d = -4b

iii:

a - b + (-4a) - (-4b) = -45 .:. -3a + 3b = -45

iv:

81a + 27b + 9*(-4a) + 3*(-4b) = -165 .:. 45a + 15b = -165 .:. 3a + b = -11

.-3a + 3b = -45 (I)
. 3a + b = -11 (II)

I+II: 4b = -56 .:. b = -14, a = 1 --> c = -4, d = 56  --> p(x) = x^4 - 14x³ - 4x² + 56x

Poderia conferir o seu gabarito? Creio que esteja errado.

Att.,
Pedro

no gabarito esta que P(x) vale x^4-14x^3-4x^2+56x
valeu!