Progressão Aritmética.
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Progressão Aritmética.
por Loyne Sáb 18 Jan 2014, 19:09
As medidas dos ângulos A, B e C de um triângulo ABC estão em PA. Determine os ângulos sabendo que:
SenA+SenB+SenC=(3+√3)/2
A menor do que B, e C maior do que B.
SenA+SenB+SenC=(3+√3)/2
A menor do que B, e C maior do que B.
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Re: Progressão Aritmética.
por Elcioschin Sáb 18 Jan 2014, 21:46
A + B + C = 180º ----> A < B < C
(B - r) + B + (B + r) = 180º ----> 3.B = 180º ---> B = 60º ---> senB = √3/2
A + 60º + C = 180º ---> A + C = 120º ---> C = 120º - A ---> senC = sen(120º - A) ---> senC = sen120º.cosA - cos120º.senA --->
senC = (√3/2).cosA + (1/2).senA
senA + senB + senC = (3 + √3)/2 --> senA + √3/2 + [(√3/2).cosA + (1/2).senA] = 3/2 + √3/2 --> (3/2).senA + (√3/2).cosA = 3/2
3.senA + √3.cosA = 3 ---> √3.cosA = 3 - 3senA ---> 3.cos²A = 9 - 18.senA + 9.sen²A ---> 3.(1 - sen²A) = 9 - 18.senA + 9.sen²A
6.sen²A - 9.senA + 3 = 0
∆ = (-9)² - 4.6.3 ---> ∆ = 9 ----> Raízes ----> senA = (9 ± 3)/2.6 ----> senA = 1/2 ----> A = 30º ----> senC = 1 ----> C = 90º
(B - r) + B + (B + r) = 180º ----> 3.B = 180º ---> B = 60º ---> senB = √3/2
A + 60º + C = 180º ---> A + C = 120º ---> C = 120º - A ---> senC = sen(120º - A) ---> senC = sen120º.cosA - cos120º.senA --->
senC = (√3/2).cosA + (1/2).senA
senA + senB + senC = (3 + √3)/2 --> senA + √3/2 + [(√3/2).cosA + (1/2).senA] = 3/2 + √3/2 --> (3/2).senA + (√3/2).cosA = 3/2
3.senA + √3.cosA = 3 ---> √3.cosA = 3 - 3senA ---> 3.cos²A = 9 - 18.senA + 9.sen²A ---> 3.(1 - sen²A) = 9 - 18.senA + 9.sen²A
6.sen²A - 9.senA + 3 = 0
∆ = (-9)² - 4.6.3 ---> ∆ = 9 ----> Raízes ----> senA = (9 ± 3)/2.6 ----> senA = 1/2 ----> A = 30º ----> senC = 1 ----> C = 90º
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