Divisão harmônica

por Papiro Insano Qua 08 Jan 2014, 15:36

Os pontos A M B e N de uma reta formam uma divisão harmônica de razão MA/MB=NA/NB=k. Se J é o ponto médio de MN, então a razão JA/JB vale:

por Luck Qua 08 Jan 2014, 18:15

MA/MB=NA/NB=k
Seja MB=x ∴ AM=kx ; NB= y∴ NA= ky
Como J é médio de MN, JM=JN = (x+y)/2
NA = kx + x + y = ky ∴ x = y(k-1)/(k+1) (i)

(JA/JB) = (JM +MA)/(JM-MB) = [ ((x+y)/2) + kx ] / [ ((x+y)/2) - x ]
(JA/JB) = (x+y+2kx)/(y-x)
(JA/JB) = [ x(1+2k) + y ]/(y-x) , substituindo (i) :
(JA/JB) = y([(k-1)(1+2k)/(k+1)] +1) / y( 1 - (k-1)/(k+1) )
fazendo as contas :
(JA/JB) = k²

por Papiro Insano Seg 13 Jan 2014, 15:16

Luck, tenho 2 dúvidas. 1º Por que o ponto J(ponto médio de MN) aparece necessariamente depois do ponto B? Ele não poderia aparecer antes do B?

2º Nas minhas contas, não consegui achar k². Você poderia mostrar como você fez essas contas, por favor?

por Luck Seg 13 Jan 2014, 20:05

Papiro Insano escreveu:Luck, tenho 2 dúvidas. 1º Por que o ponto J(ponto médio de MN) aparece necessariamente depois do ponto B? Ele não poderia aparecer antes do B?

2º Nas minhas contas, não consegui achar k². Você poderia mostrar como você fez essas contas, por favor?

Veja se o desenho te responde:
Divisão harmônica Untitled

http://postimg.org/image/6cx7q9zj9/

(JA/JB) = y([(k-1)(1+2k)/(k+1)] +1) / y( 1 - (k-1)/(k+1) ) , continuando:
(JA/JB) =( [(k-1)(1+2k)/(k+1)] +1 ) / ( 1 - (k-1)/(k+1) )

(JA/JB) =( [(k-1)(1+2k) + (k+1)]/(k+1) ) / [(k+1-k+1)/(k+1)]
(JA/JB) = [ k + 2k² -1 -2k +k + 1 ]/ 2
(JA/JB) = 2k²/2
(JA/JB) = k²

obs. coloquei vários parênteses e colchetes para evitar ambiguidade, mas se ainda estiver confuso fala que digito no latex.