Fatoração

por Giovane Qui 19 Dez 2013, 16:02

Sendo a e b números reais que satisfazem a² + b² = 1. Qual o valor de a⁶ + b⁶ - 2a⁴ - b⁴ + a² ?

Resposta: 0

por **Elcioschin** Qui 19 Dez 2013, 16:27

Um modo simples é testar um par de valores que atenda: a = 1, b = 0

a^6 + b^6 - 2.a^4 - b^4 + a² =

1^6 + 0^6 - 2.1^4 - 0^4 + 1² =

1 + 0 - 2 - 0 + 1 =

0

por Convidado Qui 19 Dez 2013, 16:30

Produtos Notáveis Utilizados:
(x+y)²=(x+y)(x+y)=x²+2xy+y²
(x+y)³=(x+y)(x+y)(x+y)=(x+y)²(x+y)=(x²+2xy+y²)(x+y)=x³+y³+3xy(x+y)

De forma mais geral, se a²+b²=1, então b²=1-a² (é só adicionar -a² em ambos os membros da equação). A partir disso é só isolar b² na expressão:
$a^6+b^6-2a^4-b^4+a^2=a^6+(b^2)^3-2a^4-(b^2)^2+a^2$

$a^6+(b^2)^3-2a^4-(b^2)^2+a^2=a^6+(1-a^2)^3-2a^4-(1-a^2)^2+a^2$

$a^6+(1-a^2)^3-2a^4-(1-a^2)^2+a^2=0$

$a^6+(1^3-a^6+3\cdot 1 \cdot (-a^2)(1-a^2))-2a^4-(1^2-2\cdot 1\cdot (a^2)+(a^2)^2)+a^2=0$

$a^6+1-a^6-3a^2+3a^4-2a^4-1+2a^2-a^4+a^2=0$

$a^6-a^6+1-1-3a^2+2a^2+a^2+3a^4-2a^4-a^4=0$

$a^6-a^6+1-1-3a^2+3a^2+3a^4-3a^4=0$

0=0

por Giovane Qui 19 Dez 2013, 16:45

Muito obrigado colegas.

Um abraço.

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