Progressão Geométrica

(a, b, c) é uma PA que a soma dos termos é 24
(a, 2b, 10c -12) é uma PG

Determine a, b e c!
Eu fiz, mas não ta batendo com o gabarito, ai eu fiquei preocupado!

(a, b, c) -- (b - r, b, b+r) --> (b-r)+b+(b+r) = 24 --> 3b = 24 -- b = 8

Assim, temos a seguinte sequência: (8-r, 8, 8+r), em que r é a razão aritmética.
a = 8-r / b = 8 / c = 8+r

Para a segunda sequência, temos que: (a, 2b, 10c-12) --> (8-r, 16, 10r+68) <-- *Substituindo com os valores encontrados na expressão anterior

Sendo uma PG: a2/a1=a3/a2



256 = (8-r).(10r+68)
256 = 80r + 544 -10r²-68r
10r² -12r -288 = 0
5r²-6r -144 = 0

r' = 6 r''= -24/5

(Respeitando as prerrogativas: a = 8-r / b=8 / c = 8+r

Testanto r', temos:

(2, 8, 14) --> PA de razão = 6
(2, 16, 128) --> PG de razão = 8

OK

Testando r'' = -24/5

(64/5, 8, 16/5) --> PA de razão -24/5
(64/5, 16, 20) --> PG de razão= 5/4

OK

Logo a' = 2, a'' = 64/5 / b' = b''= 8 / c' = 14, c'' = 16/5

Qual o gabarito do seu livro?

mddgabriel escreveu:(a, b, c) é uma PA que a soma dos termos é 24
(a, 2b, 10c -12) é uma PG

Determine a, b e c!
Eu fiz, mas não ta batendo com o gabarito, ai eu fiquei preocupado!

Boa tarde, Gabriel.

Façamos, para facilitar:
a = b-r
b = b
c = b+r

PA:
a + b + c = b-r + b + b+r = 3b = 24 → b = 24/3 → b = 8

Portanto, fica:
a = 8-r
b = 8
c = 8+r

PG:
a, 2b, 10c-12

8-r, 2*8, 10(8+r)-12
8-r, 16, 80+10r-12
8-r, 16, 68+10r

Em uma PG de 3 termos, o termo do meio é igual à média geométrica entre os outros dois:
16 = √[(8-r)(68+10r)]

Elevamos ambos os membros ao quadrado e fica:
256 = (8-r)(68+10r)
256 = -10r² + 12r + 544

10r² - 12r - 544 + 256 = 0
10r² - 12r - 288 = 0 → simplificando por 2, temos:
5r² - 6r - 144 = 0

Resolvendo por Bhaskara, obtemos:
r' = 6
r" = -4,8

Determinando os possíveis valores para a, b e c:
a' = 8 - 6 = 2
b' = .......... 8
c' = 8+6 = 14

a" = 8 - (-4,8 ) = 12,8
b" = ................... 8
c" = 8 + (-4,8 ) = 3,2

Formando ambas as progressões, para fins de verificação:
PA(') : 2 . 8 . 14
PG(') :: 2 : 16 : 128

PA(") : 12,8 . 8 . 3,2
PG(") :: 12,8 : 16 : 20

S = {(2;8;14) ou (12,8;8;3,2)}




Um abraço.

Eu botei que nem o de vocês! 
Ja achei o erro, o gabarito ta assim: 8; 14 ou 8; 16/5
Pelo que percebi, so deram valores de b e c haahahaa

eh que quando eu li, eu pensei: a=8, b= 14 ou 8 e c= 16/5
Ai eu não entendi nada! ahahahah