Trigonometria - UEMA

por Guilherme Mesquita Qua 20 Nov 2013, 15:43

Resolva a equação trigonométrica a seguir:

$(cos\frac{x}{2} - sen\frac{x}{2})[3cos^{2}(\frac{x}{2})+ 2sen^{2}(\frac{x}{2})+ sen(\frac{x}{2}).cos(\frac{x}{2}) ] = 0$

Agradeço a ajuda desde já.

Obs: Não tenho gabarito.

por Samuel Caetano Qua 20 Nov 2013, 17:18

a = x/2

(cosa - sena)[3cos²a + 2sen²a + sena*cosa]=0

Pela relação fundamental, sen²a + cos²a=1
portanto cos²a=1-sen²a

(cosa - sena)[3(1-sen²a) + 2sen²a + sena*cosa]=0
(cosa - sena)[3 - 3sen²a + 2sen²a + sena*cosa]=0
(cosa - sena)[3 - sen²a + sena*cosa]=0

Bom, infelizmente daí pra frente eu n te tenho muita certeza se tá certo, mas ....
(cosa - sena)[3 - sena * (sena - cosa]=0

se eu estiver certo que cosx - senx = -1, então

(-1)[3-sena*(-1)]=0
3-sena=0
-1 < 3-sen x/2 < 1
Então 2 < senx < 4

por Luck Qua 20 Nov 2013, 17:21

[cos(x/2) - sen(x/2)] [ 3cos²(x/2) + 2sen²(x/2) + sen(x/2)cos(x/2) ] = 0
cos(x/2) - sen(x/2) = 0 ∴ sen(x/2) = cos(x/2) ∴ tg(x/2)= 1 ∴ x/2 = pi/4 + kpi ∴ x = pi/2 + 2kpi
ou
3cos²(x/2) + 2sen²(x/2) + sen(x/2)cos(x/2) = 0 ,dividindo por cos²(x/2):
3 + 2tg²(x/2) + tg(x/2) = 0
resolvendo a equação do segundo grau em tg(x/2) obtemos ∆ < 0, logo não possui raízes reais.

x = pi/2 + 2kpi, k ∈Z

por Samuel Caetano Qua 20 Nov 2013, 17:26

Olá Luck, estava olhando sua resposta mas fiquei bastante confuso.... Vc poderia me explicar melhor seus passos e se não for pedir muito vc tbem poderia mostrar se cosx - senx = -1?

por **Elcioschin** Qua 20 Nov 2013, 17:29

Samuel

1) Você não pode supor que cosx - senx = - 1

2) A solução do Luck explica-se asssim: Se a.b = 0 ou a = 0 ou b = 0

por Luck Qua 20 Nov 2013, 17:30

Samuel Caetano escreveu:Olá Luck, estava olhando sua resposta mas fiquei bastante confuso.... Vc poderia me explicar melhor seus passos e se não for pedir muito vc tbem poderia mostrar se cosx - senx = -1?

especifique em qual parte da solução gerou dúvida.. e por que cosx - senx = -1?

por Samuel Caetano Qua 20 Nov 2013, 17:39

Luck escreveu:
Samuel Caetano escreveu:Olá Luck, estava olhando sua resposta mas fiquei bastante confuso.... Vc poderia me explicar melhor seus passos e se não for pedir muito vc tbem poderia mostrar se cosx - senx = -1?
especifique em qual parte da solução gerou dúvida.. e por que cosx - senx = -1?

Luck, não entendi aquela tgx/2 que aparece na segunda linha da sua resolução....

A propósito, vc poderia deletar minha tentativa de resposta já que está errada?

por Luck Qua 20 Nov 2013, 17:43

Samuel Caetano escreveu:
Luck escreveu:
Samuel Caetano escreveu:Olá Luck, estava olhando sua resposta mas fiquei bastante confuso.... Vc poderia me explicar melhor seus passos e se não for pedir muito vc tbem poderia mostrar se cosx - senx = -1?
especifique em qual parte da solução gerou dúvida.. e por que cosx - senx = -1?
Luck, não entendi aquela tgx/2 que aparece na segunda linha da sua resolução....

A propósito, vc poderia deletar minha tentativa de resposta já que está errada?

eu dividi toda a equação por cos²(x/2), lembrando que sena/cosa = tga