Centro de um Circunferência e seu raio

Olá caros colegas do Fórum!

Gostaria de perguntar se alguém sabe como demonstrar as seguinte fórmulas:

Centro de uma circunferência qualquer: ([Coeficiente de x]/-2; [Coeficiente de y]/-2) ;
Raio de uma circunferência qualquer: √(a² + b² - p)


Seria essa demonstração feita apenas com base na comparação da equação de uma circunferência qualquer e a equação genérica de uma circunferência?


Abraços,
Pedro

A equação de circunferência, em si, você demonstra a partir do cálculo de distância de um ponto da circunferência qualquer P (x,y) ao centro C (a,b) cujo valor é equivalente ao raio, dando na expressão conhecida:

R² = (x-a)² + (y-b)²

Desenvolvendo a equação:

R² = x² + y² -2ax - 2by + a² + b²

Logo, perceba que, se os coeficientes de x² e y² forem 1, conforme a equação acima, podemos calcular diretamente a abcissa e ordenada do centro, dividindo os coeficientes de x e y na equação (-2a e -2b), respectivamente, por -2.

Já o raio, você pode tirar por:

R² = x² + y² -2ax - 2by + a² + b²
x² + y² -2ax - 2by + a² + b² - R² = 0

a²+b²-R² = p (sendo p o termo independente da equação desenvolvida)

Portanto:

R = V(a²+b²-p)

Espero que ajude ;]

Mas e caso eles não forem 1?
Fará alguma diferença?

Obrigado pela atenção.

PedroCunha escreveu:Mas e caso eles não forem 1?
Fará alguma diferença?

Obrigado pela atenção.

Sim. Caso não seja 1, a equação poderá ser de uma elipse ou uma hipérbole (se forem diferentes) ou uma circunferência mesmo, depende dos coeficientes das variáveis. Você pode identificar facilmente se conhecer as equações que determinam cada um desses lugares geométricos.  É preciso alterar esses coeficientes diferentes de 1, caso contrário a regra não funciona. Mas, no geral, se você estiver trabalhando com circunferência, o mais simples é dividir os coeficientes de x² e y² por um valor de modo a obter 1 em cada um deles (nesse caso, por ser uma circunferência, os seus coeficientes devem ser iguais) para tornar mais fácil a obtenção dos valores importantes para a resolução da questão. Isso se torna espontânea à medida que você for resolvendo os exercícios.

Ahh..entendi!

Muito obrigado pelas explicações schow!

Foram ótimas!

Abraços,
Pedro