Triângulo

Determine as equações das retas dos lados de um triângulo, sabendo que:

- um vértice A tem coordenadas (0,1)
- a reta r: 3x-4y+41=0 contém uma altura
- a reta s: x+2y-7=0 contém uma bissetriz

sendo a altura e a bissetriz relativas a dois vértices distintos.

Encontrei uma reta -(4/3)x+1 fazendo a relação entre o m da reta da altura e o vértice A. Como a reta s é bissetriz, para encontrar o m de outra reta fiz:



encontrando m=0 ou m=-(4/3)

Qual devo usar? Fazendo a intersecção entre a primeira reta encontrada e a bissetriz, encontra-se o vértice (-3,5). Usando m=0, acha-se a outra reta: y-y0=m(x-x0) --> y=5 (é a que está no gabarito).

Mas por que não posso usar o -4/3?

Sejam a e c as duas semirretas que concorrem com s no vértice B, tal que c é o lado oposto ao vértice A. Portanto, h é a altura relativa ao lado a. 

Você encontrou ma = -4/3 e, depois, calcula mc, tal que mc = 0 ou mc = -4/3. 

Digamos que mc = -4/3. Dessa forma, a tangente de c e a (do ângulo que formam com x) é a mesma. Sabemos, entretanto, que se duas tangentes são iguais, então os ângulos são congruentes ou a diferença entre eles é 180° (são diametralmente opostos no ciclo). Isso significa que, se duas retas possuem mesma declividade, trata-se da mesma reta.

Como a e c não podem ser a mesma reta (não haveria triângulo se fossem), você não pode usar o -4/3.

Abraço

Ah é verdade, não reparei que o -4/3 era a inclinação da outra reta em relação à bissetriz. Obrigado!