(FATEC)Seja f a função quadrática definida po

Suponha m = 2 (este valor atende ao gabarito)

f(x) = x² + x.log3(3)

f(x) = x² + x.1

f(x) = x² + x

Para x = 0 ----> f(0) = 0 ----> Não atende ao enunciado: f(x) > 0

Favor conferir enunciado

Realmente.Para que o exercício tenha um enunciado condizente com o gabarito, ele deveria apresentar-se de que forma? Será como f(x)=0 daria o mesmo resultado? Muito obrigada, Elcioschin !

Não acho que seja f(x) = 0. É mais provável que f(x) esteja incompleto, faltando o termo independente de x

Gente, neste exercício da fatec, o 1 é o termo independente e não faz parte se bx. Logo, f(x) = x^2 + x log m na base 3 + 1. Abs.

f(x) = x² + x.log3m + 1

Função do 2º grau ----> a = 1, b = log3m ----> c = 1

Para a função ser sempre positiva o discriminante deverá ser negativo (raízes complexas). Neste caso a parábola fica sempre acima do eixo x:

∆ < 0 ----> b² - 4ac < 0 ---->log²3m - 4.1.1 <0 ----> log²3m < 4 ---->

Temos duas possibilidades:

1) log3m > - 2 ----> m > 3^-2 ----> m > 1/9

2) log3m < 2 ----> m < 3² ----> m < 9

Solução final ----> 1/9 < m < 9

Vejam como é importante a digitação de um enunciado ser fiel ao original. Não haveria tanta perda de tempo por parte dos usuários do fórum.

Élcio, por que que nesta passagem "log3m > - 2 ----> m > 3^-2 ----> m > 1/9" a desigualdade inverteu-se?

Não houve inversão:

(log₃m)² < 4 ---> é o mesmo que y² < 4

A função y² é uma parábola com a concavidade voltada para cima e com raízes y = -2 e y = 2

Esta função é negativa ENTRE as raízes: - 2 < y < 2 ---> - 2 < log₃m < 2

São, portanto duas inequações, as quais eu mostrei.

Hmm. Então eu acho que estou fazendo inequações de uma maneira errada ou desatenta. Fiz a resolução desta questão quase igual a você. Só que fiz diferente em uma parte:

(log₃ m)² < 4
log₃ m < ± 2

Daí, temos: 

log₃ m < -2 e log₃ m < 2

Élcio, me tire uma dúvida, ainda que ela seja muito óbvia.

Como log₃ m < 2, então log₃ m só pode ser maior que -2 e não menor que -2 como supus em vermelho, estou correta?

Giovana, a sua passagem da primeira para a segunda linha foi equivocada. Vamos trocar o logaritmo por y:
y^2 < 4
Veja: não faz sentido apenas tomar a raiz quadrada em ambos os membros da inequação. Isso faria sentido se a função f(y) = y² fosse estritamente crescente, o que somente ocorre quando restringimos t > 0. 
A regrinha prática para quadráticas é a seguinte: tire a raiz, mas tome módulo. (Isso se justifica porque a função f(|y|) = |y|², essa sim, é estritamente crescente, além de ser bijetiva)
Então o correto seria:
\\ y^2 < 4 \Leftrightarrow |y| < 2
Daí acho que você sabe prosseguir, né?
|y| < 2 \Leftrightarrow -2 < y < 2
Observe isso no gráfico da função f(y) = y²:

Para valores de y entre -2 e 2, a função assume valores menores que 4.