Bissetrizes de triângulo retângulo

Olá, pessoal!

Em um triângulo ABC retângulo em A, traçam-se as bissetrizes internas BB' e CC'. Sendo AB'=1 e AC' = 1, como calcular o ângulo B e a hipotenusa a?

A resposta é   e

Grato!

Acredito que a resposta a=2V2 está errada, olha como eu fiz:
OBS: V2 = raíz de dois

Teremos um triângulo mais ou menos assim:


Desenhei separadas cada uma das bissetrizes, para ficar mais fácil de visualizar:


Triângulo 1:

Do triângulo 1, pelo teorema da bissetriz interna:
(AB/AB')=(BC/B'C)
(c/1)=[a/(b-1)] => a+c=bc (I)

Triângulo 2:

Do triângulo 2, pelo teorema da bissetriz interna:
(CB/BC')=(AC/AC')
[(a/(c-1)]=(b/1) => a+b=bc (II)

De I e II, percebe-se que b=c; portanto, o triângulo ABC é isócele (B=C=45).

Do triângulo ABB' dentro do triângulo I:

Sabemos que 2x vale 45 graus, portanto 2x=45; x=22,5

tg(45)=1=tg(22,5+22,5)=(tg22,5+tg22,5)/(1-tg22,5.tg22,5)
Chamado tg22,5 de y:
1=2y/(1-y²) => y²+2y-1=0
Desenvolvendo essa equação, achamos y'=-1+V2 e y''=-2-V2 . Como 22,5 é um angulo do primeiro quadrante, apenas y'=-1+V2 é possível.

Pela figura do triângulo ABB':
tg22,5=1/c => V2-1=1/c => c=1+V2
Como a=cV2 (como se fosse a diagonal de um quadrado), então a=2+V2

O modo que está a resposta do ângulo B é nada mais que 45o.
Se a=arctag b quer dizer que a é o ângulo cuja tangente vale b, podemos escrever assim:
(B/2)=arctg(-1+V2), ou seja, qual o ângulo cuja tangente de sua metade vale -1+V2.
Vimos ali em cima que tg22,5=-1+V2, ou seja, o ângulo cuja metade vale -1+V2 é 45o.

Achamos o ângulo de B corretamente, então a deveria ser 2+V2, não 2V2, pois 2V2 implicaria que c=b=V2/2, e a tangente de (B/2) daria V2, não -1+V2

Olá, Soniky.

Você tem razão mesmo, deve ter havido erro de impressão da resposta.

Obrigado!