MHS-Resolução de problemas

Olá.

Comecei a estudar 'Ondulatória' ontem e estou vendo a parte que fala sobre MHS.

Tenho aqui uma lista de exercícios sobre o assunto, mas ela está sem gabarito. 

Sendo assim, eu vou colocando as questões (aos poucos) junto com a minha resolução para que os amigos do fórum possam corroborá-la (ou não).

1) (ITA-SP) Uma partícula de massa m realiza um movimento harmônico simples de amplitude A, em torno da posição de equilíbrio x = 0. Considerando nula a energia potencial para a partícula em x = 0, calcular a elongação para a qual a energia cinética é igual ao dobro da energia potencial.

Resolução feita por mim:

Ec = 2.Ep  => (m.v²)/2 = k.x² -> (eq1), onde 'v' é o módulo da velocidade vetorial com que a partícula executa o MHS com a adição do respectivo sinal que indica o sentido do movimento (cuja função horária é dada por v = -w.A.sen(φo + w.t), com 'w' representando a pulsação do MHS ou, ainda, a velocidade angular do MCU gerador  e 'φo' a fase inicial do movimento), 'x' é a elongação (cuja função horária é dada por x = A.cos(φ0 + w.t)) e 'k' é a constante elástica da mola (comparando o MHS executado pela partícula com o MHS realizado por uma partícula num oscilador harmônico).


Assim, isolando 'x²' em (eq1), vem: x² = (m.v²)/(2.k) -> (eq2).


Como v = -w.A.sen(φo + w.t)   e   x = A.cos(φ0 + w.t), vem: sen(φo + w.t) = -v/(w.A)   e   cos(φ0 + w.t) = x/A.
Assim, da 'Relação Fundamental da Trigonometria', tem-se:
sen²(φo + w.t) + cos²(φ0 + w.t) = 1 => v²/(w².A²) + x²/A² = 1 <=> v² = (A² - x²).w² -> (eq3)



De (eq3) e (eq2), vem: x² = (m. (A² - x²).w² )/(2.k) -> (eq4)

Da 'Lei de Hooke', tem-se que Fel = - k.x e, da '2ª Lei de Newton', tem-se que Fres = Fel = m.a, onde 'a' é o módulo da aceleração vetorial com que a partícula executa o MHS com o respectivo sinal que indica o sentido do movimento (função horária dada por a = -w².A.cos(φo + w.t) = -w².x).
Assim: -k.x = -m.w².x  <=> k = m.w² -> (eq5)


De (eq5) e (eq4), vem: x² = (A² - x²)/2 <=> x = ± (A.V3)/3


Conforme eu for resolvendo a lista vou colocando mais resoluções para serem analisadas.

Está certo sim Joao, mas vc pode evitar muitas contas sem usar as equações horárias:
Ec = 2Ep
A energia mecânica pode ser calculada por Em = kA²/2 (x= A que é o ponto onde a energia potencial é máxima e a energia cinética é nula) ou Em = m(vmáx)²/2 (ponto onde a energia potencial é nula ) , entao temos:
Ec + Ep = Em
2Ep + Ep = kA²/2
3kx²/2 = kA²/2 ∴ x² = A²/3 ∴ x = +-A√3/3

Valeu Luck.
Pelo que eu entendi, a sua resolução é possível devido ao sistema ser conservativo (por só agirem forças conservativas na partícula (peso e Fel) e a única força não conservativa (Normal) ter trabalho nulo (por ser perpendicular à trajetória), não é ?
Obrigado.

JOAO [ITA] escreveu:Valeu Luck.
Pelo que eu entendi, a sua resolução é possível devido ao sistema ser conservativo (por só agirem forças conservativas na partícula (peso e Fel) e a única força não conservativa (Normal) ter trabalho nulo (por ser perpendicular à trajetória), não é ?
Obrigado.

Exato.