Termo independente em binômio

por Gabriel Rodrigues Qui 27 Jun 2013, 13:47

Que posição ocupa o termo independente de x no desenvolvimento de (3 + 6x²)^11, se o desenvolvimento for em potências de expoentes decrescentes de x?

Gabarito: 1ª posição

Se as potências de base x estiverem com expoentes decrescentes, devemos ter:

Cn,0 . x²^n-0 . 6^n-0. 3^0 + Cn,1 . x²^n-1 . 6^n-1 + 3^1 ... + Cn,p . x²^n-p . 6^n-p . 3^p + ... + Cn,n . x²^n-n . 6^n-n + 3^n

Do termo geral, notamos que Cn,p não depende de x quando 2n-2p = 0. Se n = 11, devemos ter 22-2p = 0 -> p=11.

Mas, se p=11, teremos o coeficiente binomial C11,11. Este não é o último termo da sequência?

por **Elcioschin** Qui 27 Jun 2013, 16:53

(3 + 6x²)^11 = C(n, 0).(3^11).(6x)^0 + C(n, 1)..(3^10).(6x²)^1 .....

1º termo = 3^11

por Gabriel Rodrigues Qui 27 Jun 2013, 17:13

Elcio, mas não são os expoentes de x que decrescem?

por **Elcioschin** Qui 27 Jun 2013, 20:07

Neste caso não, pois, na ordem dos termos o 6x² vem depois do 3.

A regra é sempre assim:

(a + b)^n = C(n, 0)a^n + C(n 1).a^(n - 1).b^1 ..........

Note que no 1ª termo aparece apenas o a

por Gabriel Rodrigues Qui 27 Jun 2013, 20:30

Entendo. Uma espécie de "convenção"? (como o a letra central sempre representa o vértice do ângulo - BÂC ?)

Mas mestre, então o que o enunciado quis dizer com "expoentes decrescentes em x"?

Nos outros exercícios, ele também diz isso, mas x vem primeiro nesses casos.

por **Elcioschin** Qui 27 Jun 2013, 20:34

Existe uma incoerência entre o enunciado e o gabarito

Se for segundo as potências decrescentes de x, seria o 12º termo (como você fez)

Se for segundo as potências crescentes de x, seria o 1º termo