Desafios F.A. 15

por Anderson_007 Ter 04 Jun 2013, 01:09

Qual o valor da expressão abaixo?
$E=\cos\frac{2\pi }{7}+\cos \frac{4\pi }{7}+\cos \frac{6\pi }{7} - \frac{1}{2}$

por Luck Ter 04 Jun 2013, 15:12

Movido..
Considere z^7 = 1 , z = cis(2kpi/7) , k {0,1,...6}
S = 0
cis(0) + cis(2pi/7) + cis(4pi/7) + cis(6pi/7) + cis(8pi/7) + cis(10pi/7) + cis(12pi/7) = 0
As partes imaginárias dos ângulos replementares se cortam , temos entao:
cis(0) + 2cos(2pi/7) + 2cos(4pi/7) + 2cos(6pi/7) = 0
cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7) = -1/2
Logo E = -1

por Anderson_007 Qua 05 Jun 2013, 00:18

Muito bom raciocínio com o uso de números imaginários, como já havia visto no site. Porém, mesmo sendo mais prático, não gosto muito dele e, se ninguém postar a outra resolução que conheço, eu mesmo a postarei. Gosto dela que me permite resolver a questão apenas com o uso das transformações trigonométricas, que é um assunto base para qualquer aluno do Ensino Médio como eu. Mesmo assim valeu mesmo, Luck!

por dlemos Qua 05 Jun 2013, 00:25

estou meio sem tempo esses dias, mas uma ideia legal e criar uma equaçao que tenha aqueles cossenos como raizes... Wink

por Luck Qua 05 Jun 2013, 02:31

Outra solução:

bizu: multiplicar os cossenos pelo seno da metade da razão
S = cos(2pi/7) + cos(4pi/7) + cos(6pi/7)
Ssen(pi/7) = sen(pi/7)cos(2pi/7) + sen(pi/7)cos(4pi/7) + sen(pi/7)cos(6pi/7)

transformando produto em soma 2senacosb = sen(a+b) - sen(a-b) , temos:

Ssen(pi/7) = [sen(3pi/7) + sen(-pi/7) + sen(5pi/7) + sen(-3pi/7) + sen(7pi/7) + sen(-5pi/7) ]/2
Ssen(pi/7) = -sen(pi/7)/2
S = -1/2 , E = -1

podia tb usar a fórmula de soma de cossenos em pa (que é de onde surge essa ideia) , mas acho que nao vale a pena decorar..

obs. se tiver outra solução poste.

por Anderson_007 Sáb 08 Jun 2013, 21:26

Cara, a sua é bem melhor que a que eu tenho... Mesmo assim, já que você pediu, vou postar:
$E=\cos \frac{2\pi }{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}-\frac{1}{2}\Rightarrow E=2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}-\frac{1}{2} \Rightarrow E=2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}+2\cos^2\frac{3\pi}{7}-1-\frac{1}{2}\Rightarrow E=2\cos\frac{3\pi}{7}(\cos\frac{\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7})-\frac{3}{2}\Rightarrow E=2\cos\frac{3\pi}{7}2\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=\frac{2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}2sen\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}}{sen\frac{\pi}{7}} - \frac{3}{2} \Rightarrow E=\frac{2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}sen\frac{2\pi}{7}}{sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2} \Rightarrow E=\frac{2\cos\frac{3\pi}{7}2sen\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=\frac{2\cos\frac{3\pi}{7}sen\frac{4\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=\frac{sen\frac{7\pi}{7}+sen\frac{\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}\Rightarrow E=\frac{sen\pi+sen\frac{\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2}$ $E=\frac{sen\frac{\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=-1$
Dê aí sua opinião sobre essa resolução: é ou não é mais extensa que a sua? kkk

por Luck Seg 10 Jun 2013, 14:22

Anderson_007 escreveu:Cara, a sua é bem melhor que a que eu tenho... Mesmo assim, já que você pediu, vou postar:
[url=http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E=\cos \frac{2\pi }{7}@plus;\cos\frac{4\pi}{7}@plus;\cos\frac{6\pi}{7}-\frac{1}{2}\Rightarrow E=2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}@plus;\cos\frac{6\pi}{7}-\frac{1}{2} \Rightarrow E=2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}@plus;2\cos^2\frac{3\pi}{7}-1-\frac{1}{2}\Rightarrow E=2\cos\frac{3\pi}{7}(\cos\frac{\pi}{7}@plus;\cos\frac{3\pi}{7})-\frac{3}{2}\Rightarrow E=2\cos\frac{3\pi}{7}2\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=\frac{2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}2sen\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}}{sen\frac{\pi}{7}} - \frac{3}{2} \Rightarrow E=\frac{2\cos\frac{3\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}sen\frac{2\pi}{7}}{sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2} \Rightarrow E=\frac{2\cos\frac{3\pi}{7}2sen\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=\frac{2\cos\frac{3\pi}{7}sen\frac{4\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=\frac{sen\frac{7\pi}{7}@plus;sen\frac{\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}\Rightarrow E=\frac{sen\pi@plus;sen\frac{\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2}] $Desafios F.A. 15 Gif$ [/url] [url=http://www.codecogs.com/eqnedit.php?latex=E=\frac{sen\frac{\pi}{7}}{2sen\frac{\pi}{7}}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\Rightarrow E=-1] $Desafios F.A. 15 Gif$ [/url]
Dê aí sua opinião sobre essa resolução: é ou não é mais extensa que a sua? kkk

sim, deu um pouco mais de conta , a diferença é que de início usei uma ideia ja baseada em outra generalização ( soma de arcos em pa) , mas o importante é chegar na resposta Smile