Relatividade

Alguém saberia uma demostração o máximo aplicada possível para a relação massa energia de Einstein: E=raiz(M^2C^4+p^2cC^2). Já vi algumas demonstrações baseadas na invariância da métrica mas nunca me deu por satisfeito com isso. Já ouvi falar de uma demonstração usando os princípios de cálculo variacional com lagrangiana e teorias de campo. Eu só queria uma verdadeira demostração para isso baseada nas transformações de lorentz e na conservação da energia. Acredito que isso possa ser deduzido a partir de um "aumento de massa" devida a invariância da velocidade da luz.

eu não sei se vai te ajudar, mas eu conheço um modo simples de se aplicar essa equação, o sol, ele libera luz o tempo inteiro (vamos desconsiderar a massa coronal), ao liberar a luz ele tem que perder massa(lei da conservação de energia), porém os fótons não tem massa então como se acha essa relação?
simples muito simples..
E=nhf (sendo n o numero de fótons)
agora nós sabemos a energia que o sol perdeu é só relacionar com a outra formula
 E=c√(m²c²+p²) se você considerar o sol como um sistema parado fica mais fácil
nhf=mc²
m=nhf/c²
por outro lado se você adotar um referencial então temos que considerar o momento
nhf=E=c√(mo²c²y²+v²mo²y²) sendo y=1/√1-v²/c² 
então:
nhf=c.mo.y.√(c²+v²)  =)
mo é a massa inercial que ele perdeu, mo.y é a massa relativa =P
então a massa relativa que o sol perdeu é:
M=nhf/c√(c²+v²) 

Não quero aplicação, quero a demonstração de:

E = sqrt(m^2  c^4 +  p^2 c^2)

que é a verdadeira equação da relatividade.

mesmo assim, interessante foi o seu relato.