Fatoração

a³ + b³ + c³ + d³ = (a+b)(a² - ab + b²) + (c+d)(c² - cd + d²) = 0
c+ d = -(a+b)
(a+b)(a² - ab + b²) -(a+b) (c² - cd + d²) = 0
(a+b) ( a² -ab + b² - c² + cd - d²) = 0
a+b = 0 (I) ou a² - ab + b² - c² + cd - d² = 0 (II)
o caso (I) está ok. Analisando (II)..
M.A ≥ MG
a² + b² ≥ 2ab
c² + d² ≥ 2cd
mínimo a² + b² = 2ab , c² + d² = 2cd :
(ab - cd) = 0, ab = cd, o que só ocorre se a = c e b = d ou a = d e b= c
Portanto a² - ab + b² - c² + cd - d² = 0 somente se a=c e b=d ou a = d e b = c
Como a+b+c+d = 0 , teríamos a + b + a + b = 0 --> 2(a+b) = 0 , (a+b) = 0, os outros casos são análogos, c.q.d

Mas luck , ab pode ser igual a cd mesmo com a ≠ c e b≠d ou a≠d e b≠c , exemplo : 2x10 e 4x5 . Não?

Chronoss escreveu:Mas luck , ab pode ser igual a cd mesmo com a ≠ c e b≠d ou a≠d e b≠c , exemplo : 2x10 e 4x5 . Não?

Tem razao , podem ser múltiplos .. esquece o que escrevi depois de " ab = cd" :
se ab = cd , (a² + b² -c²-d² ) = 0
a²+b² = c² + d²
(a+b)² - 2ab = (c+d)² - 2cd
(a+b)² = (c+d)²
(a+b) = (c+d) , ou (a+b) = -(c+d)
(a+b) = -(c+d) foi dado.
(a+b) = (c+d) , (a+b) = -(a+b) , a+b = 0

Obrigado luck.