relação

Seja R a relação em E={1,2,3,4,5} tal que xRy se, e somente se, X-Y é multiplo de 2.

a) Quais são os elementos de R?
b) Faça o diagrama de flechas para R.
c) R é reflexivo? R é simétrico? R é transitivo? R é antissimétrico?

Gostaria de uma resolução, seguida de explicação passo-a-passo, dessa questão. Estou com muita dificuldade em resolvê-la


As respostas são essas:
a) (4,2) ; (5,3) ; (3,1) ; (5,1) ; (2,4) ; (3,5) ; (1,3) ; (1,5) ; (1,1)
; (2,2) ; (3,3) ; (4,4) ; (5,5) --> note que 0 e numeros negativos
da forma 2.(-k) sao multiplos de 2.
b)so fazer as flechas o desenho entre os elementos da relaçao...
c)e reflexiva, simetrica e transitiva!

Não entendi como se chega nessas respostas. Gostaria de um passo-a-passo, se possível.

Agradeço.

Você ficou mais na dúvida da C né?

Vamos a primeira, reflexiva.
Uma relação é reflexiva, se para todo x em A, tem-se (x;x) ∈ R.
Por exemplo:

A = {1; 2; 3; 4} para a relação ser reflexiva, ela deve ser:
R = {(1;1), (2;2), (3;3), (4;4)}. Mas, se ela for deste jeito: R = {(1;1), (2;2), (3;3), (4;4)(3;4)}, ela não deixa de ser reflexiva, pois a condição é que ∀ x ∈ R, (x;x) ∈ R (Para todo x em R, (x;x) pertença a R).

Só para reforçar, esse exemplo: R = {(1;1), (2;2), (3;3), (3;4)}, não é uma relação reflexiva, pois não tem a relação (3; 3), então não atende a condição.

Voltando a questão, para ela ser reflexiva, deve-se ter {(1;1),(2;2),(3;3),(4;4);(5;5)}. Como podemos ver, a condição é atendida.

Para ela ser simétrica, quando (a;b) ∈ R, então (b, a) ∈ R.
Como podemos ver, essa necessidade é atendida:
{(4;2), (2;4), (5;3), (3;5), (3;1), (1;3), (5;1), (1;5), (1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5)}
Nos números reais, se X - Y = Múltiplo de 2, então Y - X = Múltiplo de 2.

E finalmente, para ser transitiva. Diz-se transitiva, quando (a;b) ∈ R e (b;c) ∈ R, então (c;a) ∈ R.
Por exemplo, (5,3) ∈ R e (3,1) ∈ R e também (5,1). Pode-se notar que essa relação se encontra em todo R.

Sabemos que a relação é simétrica, então obviamente ela não é antissimétrica. Mas para não deixar dúvidas, uma relação antissimétrica todo "a" é igual a "b", o que podemos notar que não ocorre.

Qualquer outra dúvida, é só falar

pra te falar a verdade, tive dúvida nas 3 =/
é uma disciplina complicada pra mim.

Me diz qual a explicação para ser dada como correta a Resposta da questao A.

E como seriam as flechas da letra B??

Tranquilo.

Comecemos pela a.
A relação que ele pede é que em (x;y), x-y = múltiplo de 2.
Todo número par é múltiplo de 2.
Todo número par menos um número par é outro número par.
Todo número ímpar, menos um número ímpar é um número par.
Exemplo:
4 - 2 =2
12 - 4 = 8
3 - 1 = 2
9 - 3 = 6

Na letra a, tudo que você tem que achar são os subconjuntos de dois números, de 1 a 5, que o primeiro(x) menos o segundo(y) dê um número par.
Sobre os números negativos, sendo ele "par", ele um múltiplo de 2.
Exemplo:
(1;5) e (1;3) Então 1 - 3 = -2 e 1 - 5 = -4. E -2 e -4 são múltiplos de 2.
A prova disso é:
2 x -1 = -2
2 x -2 = -4

Na questão b, é o diagrama de flechas. O da esquerda representa os x's da relação, e o da direita os y's. A relação que no caso, é a resposta da letra a.
Por exemplo, os sub-conjuntos onde o 1 toma o lugar do x,{(1;1),(1;3),(1;5)}, no diagrama de flechas, você fará uma linha ligando o 1, na esquerda, ao 1,3 e 5. Pois o 1 na esquerda representa o x da relação, e o 1,3 e 5 o y. É chamado domínio e conjunto-imagem.
Imagens:
Exemplo do 1:



Exemplo do 2 (cores ilustrativas):



Qualquer dúvida, pode falar, não se acanhe

Olá boa tarde.


Só para reforçar, esse exemplo: R = {(1;1), (2;2), (3;3), (3;4)}, não é uma relação reflexiva, pois não tem a relação (3; 3), então não atende a condição.


não seria (4;4)?