Divisibilidade

Determine o algarismo m tal que, 888...888m999...999 onde 888...888 possui 50 dígitos iguais a 8 e 999...999 possui 50 dígitos iguais a 9 seja divisível por 7.

RESPOSTA:5

2k3d escreveu:Determine o algarismo m tal que, 888...888m999...999 onde 888...888 possui 50 dígitos iguais a 8 e 999...999 possui 50 dígitos iguais a 9 seja divisível por 7.

RESPOSTA:5

Boa noite,

O menor número, formado por algarismos iguais, que seja divisível por 7, é 111111; para confirmar, basta verificar, seguidamente, os restos deixados por: 1,11,111,1111,11111 e 111111, para ver que nenhum grupo, com menor quantidade de algarismos iguais, é divisível po 7.

Repartindo cada grupo de 50 dígitos iguais (a 8 e a 9) em grupos de 6 dígitos, formaremos 8 grupos e restarão "88" no grupo inicial e "99" no grupo final do número em pauta.

Assim, podemos simplificar nossa pesquisa, analisando apenas 88m99.

88/7 = 12*7 + 4; assim podemos trabalhar apenas com o resto 4, em lugar do 88. Fica, pois:
4m99 = múltiplo de 7.

4m99 = 4099 + 100*m = múltiplo de 7.

Continuando, poderemos, também, substituir 4099 e 100 pelos seus respectivos restos ao serem divididos por 7; assim, nossa análise se reduzirá ainda mais:
4099 = 585*7 + 4
100 = 14*7 + 2

E se tornará em:
4 + 2*m = múltiplo de 7.

Ora, sendo "m" um dígito, seu valor máximo está limitado a 9; portanto, fica:
4 + 2*m ≤ 4 + 2*9 ≤ 4 + 18 ≤ 22

Por conseguinte, podemos escrever:
4 + 2m = 7 ou 14 ou 21.

Sendo 4 + 2m um número par (=2(2+m), o segundo membro supra não poderá ser ímpar; donde:

4 + 2m = 14
2m = 14 - 4 = 10
m = 10/2
m = 5





Tenha uma semana entrada muito abençoada!

Entendi , obrigado.