Pontos Máximos e Mínimos

por Palloma Iânes Qua 20 Fev 2013, 10:04

Localize, quando existir, todos os máximos locais, mínimos locais e ponto de sela da função f(x,y)=x^2+y^2+xy+3x-3y+4.

Alternativas

a: (-3,3) mínimo local em f
b: (3,-3) mínimo local em f
c: (3,3) máximo local em f
d: (-1,2) ponto de sela em f
e: (0,0) máximo local de f

por **Iago6** Dom 24 Fev 2013, 13:21

$\;\;\;\;\;\;\; f(x,y)=x^2+y^2+xy+3x-3y+4 \\\\ \; \rightarrow \;\;\;f_x(x,y) =2x+y+3, \;\; \;\;\;\;\;f_y(x,y) =2y+x-3 \\\\\ \left\{\begin{matrix} 2x+y +3 =0\\ 2y+x-3=0 \end{matrix}\right. \;\;\;\; \;\; \Longleftrightarrow \;\;\;\; \;\; x =-3,\; y=3 \\\\\\ \; \;\;\;f_{xx}(x,y) =2, \;\; \;\;\;\;\;f_{yy}(x,y) =2, \;\; \; \rightarrow \;\;\;f_{xy}(x,y) =1, \;\; \;\;\;\;\;f_{yx}(x,y) =1 \\\\ D(-3,3) =\begin{vmatrix} 2 &1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 . \;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\;\;\ D>0$

Logo, o ponto f(-3,3) é um mínimo local pois, D > 0 e f_xx(a,b) > 0.

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