Geomatria

Na figura ao lado , AM = 1cm , MB = 10cm e MCB = 30° . Calcule o comprimento do segmento AC .

RESPOSTA: ( 8 - 3 raíz de 3 )cm ou (3 raíz de 3 -8)cm

https://2img.net/r/ihimizer/img585/3462/geometria.png

Seja B o ângulo A^BC

No triângulo rettângulo ABC ----> tgB = AC/AB ----> tgB = x/11----> I

No triângulo retângulo ABC -----> A^CM + 30º + B = 90º ----> A^CM = 60º - B

tg(A^CM) = tg(60º - B) = (tg60º - tgB)/(1 + tg60º.tgB) ----> tg(A^CM) = (\/3 - tgB)/(1 + \/3.tgB) ----> II

tgA^CM = AM/AC ----> tg(A^CM) = 1/x ----> III

II = III ----> (\/3 - tgB)/(1 + \/3.tgB) = 1/x ----> \/3.x - tgB.x = 1 + \/3.tgB ----> IV

I em IV -----> \/3.x - (x/11).x = 1 + \/3*(x/11) -----> *11 -----> 11.\/3 - x² = 11 + \/3.x ====> x² - 10*\/3.x + 11 = 0

∆ = (-10.\/3)² - 4.1.11 ---->
∆= 300 - 44 ---->
∆= 256 ----> √∆ = 16

Raiz ----> x = (10√3 ±16)/2 ----> x = 5√3 + 8

Diferente do seu gabarito

Nesta fileira tg(A^CM) = tg(60º - B) = (tg60º - tgB)/(1 + tg60º.tgB) ----> tg(A^CM) = (\/3 - tgB)/(1 + \/3.tgB) ----> II , de onde você achou 1 + tg60°.tgB ?

Parece-me que você não conhece a fórmula da tg da difeferença entre arcos

tg(X - Y) = (tgX - tgY)/(1 + tgX.tgY)

Pesquise em qualquer livro sobre Trigonometria - Fórmulas de tg da soma e da diferença entre arcos

Ata , agora eu consegui resolver , não conhecia esta fórmula , obrigado