Planos

Determinar a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:
A(1,-1,2) e o eixo dos z.

RESP: x+y=0

Equação do eixo dos z: Oz: x = 0 ∩ y = 0, que tem como vetor diretor: v = (0,0,1)
Ponto A = (1,-1,2)

O ponto A não está em Oz.
Para calcular a equação do plano, poderemos prosseguir com o seguinte raciocínio.
*Calculamos o vetor diretor r da reta que contém o ponto A e um ponto B de Oz, tal qual seja perpendicular a Oz em B.
r = (1-0,-1-0,2-θ) -> r = (1,-1,2-θ).
r é perpendicular a v, então: r•v = 0 -> θ = 2.
r = (1,-1,0)

De posse de r e de v, podemos calcular um vetor s perpendicular ao plano.
s = r x v.
s = (1,-1,0) x (0,0,1)
s = î(-1) - j(1) + k(0)
s = (-1,-1,0)

Com s e A, podemos determinar a equação geral do plano.
(-1)(x-1)+(-1)(y+1)+(0)(z-2) = 0
-x+1-y-1 = 0
x+y = 0