Nº de planos

O número de planos determinados pelos vértices de uma pirâmide regular de base hexagonal é:

a) 6

b) 11

c) 16 (GAB)

d) 20

e) 25

obs: é uma questão simples, mas gostaria de saber se existe alguma relação para calcular o nº de planos que saem dos vértices, se não, como resolver?

Seja V o vértice e ABCDEF a base. São necessários 3 pontos para definir um plano:

1 plano da base: ABCDEF
6 planos das faces laterais: ABV, BCV, CDV, DEV, EFV, FAV
6 planos com vértices das bases de 2 em 2: VAC, VBD, VCE, VDF, VEA, VFB
3 planos com vértices opostos da base: VAD, VBE, VCF

Total = 16

Outro modo

1 plano da base

Sendo V um dos pontos: C(6, 2) = 15

Total = 1 + 15 = 16

Boa noite John, tudo bem?

Bem, primeiramente lhe digo que existem duas formas básicas de se formar um plano. Uma delas é escolher três pontos não colineares, eles determinarão um triangulo, que estará contido num plano. Outra é com uma reta e um ponto não pertencente a reta. Isso também determinará um triangulo que estará contido num plano. Existem outras formas, mas esses são os axiomas. Se ainda tiver duvidas nesse assunto sugiro que consulte a edição de geometria plana do Iezzi que explica isso com figuras e ficará mais fácil de entender.

Tendo entendido esse preambulo, vamos a questão. Minha estratégia para formar planos a partir dos vértices da pirâmide será combinar retas no plano da base da pirâmide com o vértice. Desse modo, a cada reta do plano base será associado um plano formado por ela e o vértice.

A base é um hexágono regular e precisamos então descobri quantas retas podem ser formadas com os seus vértices.

Inicialmente temos os 6 lados, cada um com sua reta. Além disso, existem também as diagonais do hexágono, nesse caso o hexágono possui 9 diagonais ( D=n*(n-3)/2). Repare que as retas formadas pelos vértices do hexágono sempre contém ou um lado ou uma diagonal.

Assim totalizamos 15 retas e consequentemente 15 planos. Para chegar na reposta ficou faltando 1 plano, o próprio plano definido pelo trapézio. Repare que chegaríamos nesse plano para quaisquer 3 pontos do hexágono escolhidos.
Portanto, temos 16 planos possíveis com os vértices da pirâmide.

Espero que tenha ficado claro. Se ficou alguma duvida, não hesite em expressá-la! 
Abraços!

Muito obrigado!!