Dízima periódica

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Mensagem por Giiovanna em Sex 12 Out 2012, 19:56

Ao escrevermos 1/97 na forma decimal, obtemos uma dízima periódica com muitos algarismos (na verdade, 96) Determine os 3 últimos algarismos desse período.
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Mensagem por ivomilton em Sex 12 Out 2012, 21:24

llimonada escreveu:Ao escrevermos 1/97 na forma decimal, obtemos uma dízima periódica com muitos algarismos (na verdade, 96) Determine os 3 últimos algarismos desse período.

Boa noite,

0,010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536
082474226804123711340206185567

Acima, o primeiro período da dízima periódica: 96 decimais; resto=1.
Logo, os 3 últimos algarismos desse período são: 567

Sei que não servirá como resolução matemática, pois utilizei o Excel para obter o resultado acima; mas creio que servirá como 'gabarito' para quem estiver tentando encontrar esses 3 últimos algarismos da dízima...

Como fiz pelo Excel:
Célula ........ conteúdo
A1 ............. 10
B1 a B96 .... 97
C1 ............. =INT(A1/B1)
D1 ............. =A1 - B1*C1
A2 ............. =D1*10

Após preencher toda a Linha 1, preencher a coluna B (linhas 1 a 96) com o valor 97.
Posicionar o cursor sobre a célula A2 (canto inferior direito, fazendo aparecer o sinal +). Pressionar o cursor sobre esse + e escorregar o cursor somente sobre essa coluna (A) até atingir A96.
Selecionar C1 e D1, posicionando o cursor sobre o sinal + que deverá aparecer no canto inferior direito do 'retângulo" selecionado (célula D1) e pressionar o mouse, fazendo escorregar até as células C96 e D96.






Um abraço.
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Mensagem por Giiovanna em Sab 13 Out 2012, 09:17

Esqueci se colocar o gabarito, é isso mesmo. Eu tenho uma outra resolução, mas não entendi uma vírgula. O professor disse que eu precisava começar a divisão ao contrário, mas como fazer iss eu não sei. Obrigada Ivo Smile Mas ainda preciso de um resolução a mão
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Mensagem por ivomilton em Sab 13 Out 2012, 09:54

llimonada escreveu:Esqueci se colocar o gabarito, é isso mesmo. Eu tenho uma outra resolução, mas não entendi uma vírgula. O professor disse que eu precisava começar a divisão ao contrário, mas como fazer iss eu não sei. Obrigada Ivo Smile Mas ainda preciso de um resolução a mão



Bom dia, llimonada.

Sabe, eu também cheguei a pensar nisso, lembrando que a última divisão, antes de iniciar o segundo período da dízima, deverá deixar resto 1.

Também devemos nos lembrar que o último dividendo deverá terminar em 0, pois ao dividirmos 1 por 97 iremos sempre acrescentando novos zeros para obtermos novas decimais.

Agora, ficou fácil; veja:

z, y, x = as 3 últimas decimais do primeiro período da dízima (sendo x a última)

97.x + 1 = _ _ 0
97.x = _ _ 0 - 1
97.x = _ _ 9

Qual será o múltiplo de 97 que terminará em 9, dentre 1 e 9? Somente o 7!
Logo, temos que "x" (o último algarismo) deverá ser 7.

Continuando a pesquisa, vem:
97.x + 1 = 97.7 + 1 = 679 + 1 = 680

Assim, o resto anterior era igual a 68, pois o 0 fôra acrescentado para obtermos o quociente 7.

Continuando nossa pesquisa, partiremos em busca do penúltimo algarismo da dízima:
97.y + 68 = _ _ 0
97y = _ _ 0 - 68
97y = _ _ 2

Qual será, agora, o múltiplo de 97, dentre 1 a 9, cujo algarismo final seja igual a 2? Unicamente o 6. Logo, concluímos que "y" deverá ser igual a 6.

97.y + 68 = 97.6 + 68 = 582 + 68 = 650

Assim, o resto anterior era o 65, pelo mesmo motivo já explicado.

Prosseguiremos, então, buscando determinar o ante-penúltimo algarismo da dízima:
97.z + 65 = _ _ 0
97z = _ _ 0 - 65
97z = _ _ 5

Finalmente, qual será o múltiplo de 97, dentre 1 a 9, cujo final seja igual a 5? Só o 5!
Concluímos, então, que "z" deverá ser igual a 5.

Obtemos, portanto:
x=7 ; y=6; z=5

Colocados em ordem dentro da dízima, ficam sendo: 567







Um abraço.
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Mensagem por Giiovanna em Sab 13 Out 2012, 11:14

Nossa Ivo, que dificil affraid

Nunca pensaria nisso, mas eu acho que é isso mesmo, está perfeito Very Happy

Olha a resolução do site
Dízima periódica 1350137733611

O resto da última divisão é 1 por que o da primeira também é 1?
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Mensagem por ivomilton em Sab 13 Out 2012, 11:42

Olá, bom dia novamente!

Quando dividimos 1 por 7 (por exemplo)), o dividendo é igual a 1.
Aí, começamos a fazer a divisão e encontramos x decimais como primeiro período. Esse primeiro período só termina quando novamente obtivermos resto 1 em nossa divisão:

1 |_7__
1 .. 0,


10 |_7__
_3 .. 0,1

100 |_7____
_30 .. 0,14
__2


1000 |_7_____
_30 ... 0,142
__20
___6

10000 |_7_____
_30 .... 0,1428
__20
___60
____4


100000 |_7_____
_30 ..... 0,14285
__20
___60
____40
_____5

1000000 |_7_____
_30 ...... 0,142857
__20
___60
____40
_____50
______1



Aqui termina o 1º período da dízima; irá começar novo período:


10000000 |_7_______
_30 ........ 0,142857 1
__20
___60
____40
_____50
______10
_______3

Notou? É por isso que cada período da dízima começa com o mesmo algarismo com que começou: começou com 1 (=1/97) e termina com 1
(essa aparição de novo resto 1 mostra, portanto, que o período da dízima terminou).

Se formos dividir (por exemplo) 1 po 3, já irá aparecer o resto 1 logo após a 1ª divisão. Assim 1/3 só tem 1 algarismos (o 3) em seus períodos na dízima.

Espero tenha dado para você compreender a razão por que o resto da divisão de 1/97 deve ser 1 ao terminarmos de concluir o primeiro período da dízima periódica resultante.







Um abraço.
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Mensagem por Giiovanna em Sab 13 Out 2012, 13:31

Ótima resolução, Ivo!

Muito Obrigada mesmo Very Happy
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Mensagem por ivomilton em Sab 13 Out 2012, 16:23

llimonada escreveu:Ótima resolução, Ivo!

Muito Obrigada mesmo Very Happy



Não cheguei a comentar sobre a resolução que vc postou; ela usa congruências. Consegui acompanhar os cálculos até certo ponto, mas para quem não estudou sobre congruências, realmente é tudo 'grego'...







Sempre às ordens!
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