Potencial - Condutores esféricos

Na figura há dois condutores esféricos, sendo um maciço A, de 30 cm de raio, e outro oco B, de raio interno igual a 80 cm e externo igual a 100 cm. O condutor A está eletrizado com carga igual a +4,0C, enquanto B está ligado à Terra:

Determine:
a) o potencial na esfera A;
b) o potencial na esfera B;
c) o potencial num ponto P, a 50 cm do centro das esferas.
Dado: Kο =

Spoiler:

Por indução acumula-se na superfície interna de B uma carga negativa de 4*10^-6 C e na suoerfície externa de B uma carga positiva, de mesmo módulo. Ligando B à Terra, sobem elétrons da Terra que vão neutralizar a carga positiva externa.

a) Ua = k*q/r + k(-q)/R----> Ua = (9*10^9)*(4*10^-6)/0,3 - (9*10^9)*(4*10^-6)/0,8 ----> Ua = 12*10^4 V - 4,5*10^4 ----> Ua = 7,5*10^4 V

b) Ub = 0 -----> porque B está ligada à Terra

c) Up = (9*10^9)*4*(10^-6)/0,5 + (9*10^9)*(-4*10^-6)/0,8 ----> Up = 7,2*10^4 - 4,5*10^4 V ----> Up = 2,7*10^4 V

Mestre Elcioschin,

Conferi o enunciado e o gabarito na minha apostila, eles são esses mesmos.

Eu também fiz igual ao senhor, acho que o gabarito da apostila deve estar errado.

Creio que a resolução deve considerar a carga induzida na superfície interna e externa da esfera oca, que também estabelece potencial em A e P.

Gabriel

Você tem razão: eu esquecí de considerar a carga induzida na superfície interna de B. Na superfície externa não existem cargas, pois foram neutralizadas na ligação com a Terra.

Editei minha mensagem original (em vermelho)

Obrigado pela sugestão.

Elcioschin, se eu tivesse que esboçar o gráfico do potencial em função da distância dos raios das esferas:
1) Para d > 80 cm, teríamos U = 0 V, certo? Para fazer mais sentido, imaginei uma gaussiana com raio d > 80 cm e, como a carga interna é nula, o campo elétrico é nulo e consequentemente o potencial é nulo. É isso mesmo?
2) Para 30 < d < 80 o gráfico cairia com o inverso da distância, mas ao mesmo tempo haveria o potencial devido a -4 uC a ser considerado. Então eu uso superposição para saber como fica:
V(d_A) = K|Q_A|/d_A - 10K|Q_A|/8
V(d_A) = K|Q_A| * (1/d_A - 1,25), 30 cm < d_A < 80 cm
Está correto? Daí o gráfico, mesmo partindo de d = 0 cm não ficaria descontínuo nem teria nenhuma alteração pois esse -1,25 já fazia parte dele desde o início...

É isto mesmo Ashitaka

Para 0 =< d =< 30 cm ---> U = 75 000 V
Para 30 < d < 80 cm ----> U varia segundo uma "hipérbole" entre 75 000 V e 0 V
Para d >= 80 cm ---> U = 0


Na realidade existe uma descontinuidade no gráfico no ponto (30, 75 000), pois neste ponto existem duas tangentes ao gráfico, isto é, a função não é derivável neste ponto..

Esses pontos que limitam geralmente são difíceis de analisar... não consigo imaginar o que acontece quando d = 30 cm e quando d = 80 cm. Há alguma explicação nesses casos, fisicamente?

Para um ponto pertencente à superfície da esfera interna o potencia é 75 000 V
Para um ponto externo e muito próximo à superfície o potencial começa a cair devido ao aumento de d
O mesmo ocorre para d = 80 cm, com apenas uma diferença: neste ponto a curva de decaimento entre 30 e 80 "combina" suavemente com a reta y = 0. Neste ponto a função é contínua e derivável.

Agora, o caso abaixo é mais complexo de analisar:

Imagine um condutor esférico de raio R e carga Q. O campo elétrico em qualquer ponto do condutor é nulo.
Num ponto externo ao condutor, infinitamente próximo a ele, o campo já vale E = k.Q/R².
Note que ocorreu um salto repentino no gráfico de zero para k.Q/R²
Na minha época de estudante universitário, costuma-se adotar neste ponto um campo E/2
Hoje isto não é mais aceito pelos físicos (já foi postado no fórum um resumo deste trabalho dos físicos mas não sei onde está)

Eu aprendi e vi uma justificativa razoável para o seguinte, numa esfera condutora de raio R:
E = 0, para um ponto interno;
E = KQ/R² para um ponto externo e infinitamente próximo da esfera;
E = KQ/(2R²) exatamente na superfície da esfera.
OBS antes de continuar: sou muito leigo em cálculo, então se houver algum absurdo, leve em consideração isso... acho que não faz sentido mas:
Se integrar KQ/(2R²), obteria -KQ/(2R)... poderia dizer que exatamente no R = 30 cm, o potencial elétrico é metade do que tem dentro da esfera?

*Nota: agora que apareceu sua última mensagem editada; o professor disse que havia discordância sobre esse E/2 e que ele adotava o que dizia no livro do Moysés. Já que é tão complexo assim, melhor deixar para um momento mais apropriado.
Muito obrigado, Elcioschin!