Quadrados circunscritos

14. (Ufrj 2002) A figura a seguir é formada por dois quadrados ABCD e A'B'C'D', cujos lados medem 1 cm, inscritos numa circunferência. A diagonal AC forma com a diagonal A'C' um ângulo de 45°.



Determine a área da região sombreada da figura.


resposta 6 - 4raizde2

Eu achei: raiz de 3(6 - 4raizde2_

Vieira1 escreveu:14. (Ufrj 2002) A figura a seguir é formada por dois quadrados ABCD e A'B'C'D', cujos lados medem 1 cm, inscritos numa circunferência. A diagonal AC forma com a diagonal A'C' um ângulo de 45°.



Determine a área da região sombreada da figura.


resposta 6 - 4raizde2

Eu achei: raiz de 3(6 - 4raizde2_

Boa noite,

L = lado igual de cada um dos triângulos isósceles

Cada um dos 8 triângulos sombreados tem as seguintes medidas, compondo, assim, a medida do lado dos quadrados entrelaçados:
L+L√2+L = L(1+√2+1) = L(2+√2) = 1 cm
L = 1/(2+√2) = (2-√2)/(4-2) = (2-√2)/2

Assim, a base de cada um dos triângulos deve medir:
1 - 2(2-√2)/2 = 1 - (2-√2) = 1-2+√2 = (√2-1) cm

Agora, observe que essa base é igual a 2 vezes a altura de cada triângulo, devido a que os ângulos iguais juntos à base medem, cada um, 45°.

Então, a altura de cada triângulo é igual a (√2-1)/2 cm.

Por outro lado, a área de cada triângulo é igual a:
(Base*altura)/2 = [(√2-1)*(√2-1)/2]/2 = [(3-2√2)/4] cm²

Portanto, o total da área sombreada deve medir:
8 * [(3-2√2)/4] cm² = 2(3-2√2) cm² = (6 - 4√2) cm²





Um abraço.

vlw