Termos com a^3 e b^3

Primeiramente vamos usar dois produtos notáveis para fatorar os fatores tanto do numerados quanto do denominador da fração. Os produtos notáveis utilizados são os seguintes:

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2 )

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2 )

(2-1)(2^2+2+1)(3-1)(3^2+3+1)⋯(100-1)(100^2+100+1)/(2+1)(2^2-2+1)(3+1)(3^2-3+1)⋯(100+1)(100^2-100+1)

1∙2∙3∙4⋯99∙(2^2+3)(3^2+4)(4^2+5)(5^2+6)⋯(100^2+101)/3∙4∙5∙6⋯101∙(2^2-1)(3^2-2)(4^2-3)(5^2-4)⋯(100^2-99)

2∙(7)(13)(21)(31)⋯(9901)(10101)/100∙101∙(3)(7)(16)(21)⋯(9703)(9901)

Agora vamos utilizar a seguinte relação acerca dos números naturais: a soma do quadrado de um número natural n e esse número n é igual a diferença entre o quadrado de seu sucessor e o sucessor.

n^2+n+1=(n+1)^2-(n+1)+1

n^2+n=n^2+2n+1-n-1

Simplificando a fração, temos:

2∙10101/100∙101∙3

3367/50∙101

3367/5050

Alternativa (C) 3367/5050.