Polinômios AFA-MG

por Fernando_Vieira Qui 13 Set 2012, 11:27

(AFA-MG) Analise as afirmações:
$Polinômios AFA-MG Gif.latex?\text{I.%20Se}\;(x^{2}-x+1)^{n}\equiv%20b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+...\,+b_{2n}x^{2n}\text{,%20ent%C3%A3o}\;\sum_{k=0}^{n}b_{2k}=3^{n}$

II. É impossível dividir x² + 3x + 1 por x³ + 5.

$Polinômios AFA-MG Gif.latex?\text{III.%20Se}\;\sum_{x=5}^{n+5}4(x-3)=An^{2}+Bn+C;\;\forall\;n\in%20\mathbb{N}%20\text{,%20ent%C3%A3o}\;A+B=12$

$Polinômios AFA-MG Gif.latex?\text{IV.}\;x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+x+\frac{1}{x}=\alpha%20,\;\alpha%20\in%20\mathbb{R},\;\text{admite%20somente%20ra%C3%ADzes%20reais%20se}\;\alpha%20\geq%204$

O número de afirmações CORRETAS é:

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Gabarito:

Spoiler:

por **Robson Jr.** Sex 14 Set 2012, 14:58

I. Falso.

Basta fazer n = 1:

$(x^2-x+1)^1=\underset{b_0}{\underbrace{1}}-x+\underset{b_2}{\underbrace{1}}x^2 \Rightarrow b_0+b_2=2\neq3^1 \\$

II. Verdadeiro.

Um polinômio de grau n não é divisível por outro de grau m > n.

III. Verdadeiro.

Para n = 0:

$\small \sum_{x=5}^{5}4(x-3)=4(5-3)=8=A.0^2+B.0+C \Rightarrow C=8$

Para n = 1:

$\small \sum_{x=5}^{6}4(x-3)=4(5-3)+4(6-3)=20=A.1^2+B.1+C \Rightarrow A+B+C=20$

Como C = 8, A + B = 20 - 8 = 12.

IV. Falso.

Se $\small \alpha$ = 0, claramente -1 é raíz. Veja:

$\small (-1)^2+\frac{1}{(-1)^2}+(-1)+\frac{1}{(-1)}=0 \Rightarrow 2-2=0$

Essa questão pode parecer trabalhosa, a princípio, mas propõe alternativas rapidamente verificáveis.

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