Help!! ~ Determinante de matriz de ordem n

por Nat' Seg 20 Ago 2012, 11:06

Olá pessoal!

Eu não sei achar determinante de matriz de ordem n... Alguém pode me ajudar com a matriz abaixo?

Se for possível, por favor me deem dicas sobre como resolver as matrizes de ordem n.

Dada a matriz A nXn,

A = $Help!! ~ Determinante de matriz de ordem n Gif.latex?\begin{bmatrix} 1-n & 1&1 & 1&.. & 1 \\ 1& 1-n& 1 & 1 & ..& 1\\ 1& 1& 1-n &1 & ..& 1\\ :& : & :& : & & :\\ 1&1 & 1&1 & .$ calcule detA.

Resp. 0

Muito Obrigada! Very Happy

por **Robson Jr.** Seg 20 Ago 2012, 12:41

Se você reparar bem, a soma dos elementos de uma mesma linha é zero.
Pegue, por exemplo, a linha 1:

$\small S_{L_1}=1-n+\underset{n-1\text{ vezes}}{\underbrace{1+1+...+1}}=1-n+(n-1)=0$

Somando as colunas, faço aparecer a soma das linhas (que já vimos ser maneira). Por isso usarei o Teorema de Jacobi e escreverei uma nova Coluna 1:

$\small \\C_1'=C_1+C_2+...+C_n \\\\ \begin{vmatrix} 1-n & 1 & 1 & 1 & ... &1 \\ 1 & 1-n & 1 & 1 & ... &1 \\ 1 & 1 & 1-n& 1 & ... &1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-n & ... &1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 &1 &1 & 1 & ... & 1-n \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & ... &1 \\ 0 & 1-n & 1 & 1 & ... &1 \\ 0 & 1 & 1-n& 1 & ... &1 \\ 0 & 1 & 1 & 1-n & ... &1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 0 &1 &1 & 1 & ... & 1-n \end{vmatrix}$

Como uma coluna do determinante é composta de zeros, o determinante é nulo.

Nat, na minha opinião dar "dicas" para fazer matrizes infinitas é tão perigoso quanto dar sugestões para aqueles problemas sinistros de fatoração: algumas questões de fato usam uma mesma ideia, mas você pode se deparar com 20 questões sem absolutamente nada em comum.

Tentando ser o mais geral possível, você usará três teoremas: Jacobi, Chió e Laplace. Neste tópico, por exemplo, foi necessário apenas usar Jacobi, mas fiz vários problemas em que bastou aplicar um Jacobi esperto e finalizar com Chió ou um Laplace conveniente. Já em outros eu precisei fazer, digamos, Chió "n" vezes, o que sinceramente foi muito tenso.

Uma garota do meu curso fez uma questão usando o "Método da Variação de Parâmetros". Não comentarei porque não entendi quase nada daquilo, mas me pareceu uma ferramenta poderosa. Pode pesquisar sobre, se quiser, porque eu irei. Smile

Ultimamente ando sem tempo pra quebrar a cabeça nas suas questões, mas tentarei fazer um esforço.

Abraço!

por Huan_ Seg 20 Ago 2012, 13:15

Robson Jr.

Eu pesquisei aqui, e vi que é um método que exige conhecimento de EDO (Equações Diferenciais Ordinárias). Deve ser por isso que vc não deva ter entendido. Smile

por Nat' Qua 22 Ago 2012, 01:23

Robson,

Muuuuuito obrigada pela ajuda!! Smile

por **Robson Jr.** Qui 23 Ago 2012, 18:28

Huan_ escreveu:Robson Jr.

Eu pesquisei aqui, e vi que é um método que exige conhecimento de EDO (Equações Diferenciais Ordinárias). Deve ser por isso que vc não deva ter entendido.

Huan, de fato há uma técnica com nome idêntico relacionada à solução de equações diferenciais.

Fiz referência a um método que trata exclusivamente de matrizes. Farei um post sobre ele aqui no forum, em breve. Smile