EFOMM - Polinômios

Após a determinação dos valores numéricos: p(-1), p(0) e p(1), verifica-se que o polinômio p(x) = x³ + x² - x - 0,5 tem:

A) Apenas uma raiz real

B) Apenas duas raízes reais

C) Três raízes reais, todas de mesmo sinal

D) Três raízes reais, duas positivas e uma negativa

E) Três raízes reais, duas negativas e uma positiva

Vamos verificar...
p(-1) = (-1)³ + (-1)² - (-1) - 0,5 = - 1 + 1 + 1 - 0,5 = 2 - 1,5 = 0,5
p(0) = - 0,5
p(1) = (1)³ + (1)² - (1) - 0,5 = 1 + 1 - 1 - 0,5 = 2 - 1,5 = 0,5

Vemos que p(-1) = p(1). Além disso, p(0) é negativo enquanto p(-1) é positivo. Isso significa que entre -1 e 0 há uma raiz, de acordo com o Teorema de Bolzano. Não entendeu? Imagine o gráfico dessa função como uma linha que vai percorrendo o gráfico. Em p(-1) nós temos um resultado positivo, mas em p(0) nós temos um negativo. Isso então significa que para a linha ter passado do positivo para o negativo, alguma hora ela deve ter passado pelo zero. Então significa que há uma raiz entre -1 e 0. E usando essa mesma linha de raciocínio, há uma raiz entre 0 e 1 também. Então já temos uma raiz positiva e uma negativa.

Agora, temos que saber como é a terceira raiz. Para qual, vamos comparar esse polinômio com o polinômio modelo do terceiro grau.
P(x) = x³ - S1x² + S2x - S3
p(x) = x³ + x² - x - 0,5
Esses S1, S2 e S3 são as somas das raízes tomadas de 1 a 1, 2 a 2 e 3 a 3 respectivamente. Por exemplo, se temos as raízes x1, x2 e x3, S1, S2 e S3 seriam...
S1 = x1 + x2 + x3
S2 = x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3
S3 = x1 * x2 * x3
Já sabemos que x1 * x2 é negativo, pois sabemos que uma raiz é negativa e outra positiva. Agora, qual é o sinal de x3? Comparando os dois polinômios, vemos que - S3 = - 0,5, ou seja, S3 = 0,5. S3 é positivo, logo, temos duas raízes negativas e uma positiva. Letra E.

Espero ter ajudado. ^_^

Muuuito grato ^^