PG crescente ''

por Nat' Qua 08 Ago 2012, 11:06

Bom dia pessoal!

Alguém pode me ajudar com essa?

Num exame, era pedida a soma de cinco termos de uma PG crescente, sendo dados o primeiro e o último. Um aluno aplicou, erradamente a fórmula da soma dos termos de uma PA e achou 6,5 a mais do que o verdadeiro resultado. Determine a razão da PG sabendo ainda que o seu termo médio era 1.

Resp: q = (3 + √5)/2

Obrigada! ^^

por **Robson Jr.** Qua 08 Ago 2012, 14:21

Vamos representar a PG por:

$\small \frac{1}{q^2}; \ \frac{1}{q}; \ 1; \ q; \ q^2$

Equacionando o erro do aluno:

$\small \left ( q^2+\frac{1}{q^2} \right )\frac{5}{2}=(\frac{q^3-\frac{1}{q^2}}{q-1})+\frac{13}{2} \Leftrightarrow 3q^4-2q^3-15q^2-2q+3=0$

Chegamos a uma equação recíproca. A solução dela é bem manjada, mas se você não conhecer acompanhe...
Dividindo tudo por q² (termo médio):

$\small 3q^2-2q-15-\frac{2}{q}+\frac{3}{q^2}=0 \Leftrightarrow 3 \left ( q^2+\frac{1}{q^2} \right )-2\left ( q+\frac{1}{q} \right )-15=0$

Fazendo q + 1/q = t:

$\small 3(t^2-2)-2t-15=0 \Leftrightarrow 3t^2-2t-21=0 \Leftrightarrow t=3 \ ou \ t=-\frac{7}{3}$

Desfazendo a mudança de variável:

a) $\small q+\frac{1}{q}=-\frac{7}{3}$

Tanto q como 1/q tem o mesmo sinal. Se q + 1/q dá negativo, então q dará negativo, contrariando de cara o enunciado.

b) $\small q+\frac{1}{q}=3 \Leftrightarrow q^2-3q+1=0 \Leftrightarrow q=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \ ou \ q=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Como a PG é crescente, devemos ter q > 1. Logo q = (3 + √5)/2.